PanaMaths Janvier 2002
Soient a, b et c trois réels strictement positifs. Déterminer :
1 1 1 1 1
lim et lim
2 3
x x
x x x x x
x x
a b a b c
→+∞ →+∞
⎛⎛ ⎞ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎞
⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟
⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟
⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟
⎜⎝ ⎠ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ + +
Généraliser.
Analyse
Pour a, b et c strictement positifs, on a
1 1 1
0 0 0
lim x lim x lim x 1
x a x b x c a b c
→+∞ →+∞ →+∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = = = =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
On a donc :
1 1 1 1 1
lim lim 1
2 3
x x x x x
x x
a b a b c
→+∞ →+∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + +
⎜ ⎟= ⎜ ⎟=
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
. Nous sommes donc confrontés à une forme indéterminée du type « 1∞ ». Pour lever l’indétermination, il convient de revenir à la définition de la fonction puissance et d’étudier le comportement des logarithmes des fonctions étudiées au voisinage de 0.
Résolution
Æ Calcul de
1 1
lim 2
x
x x
x
a b
→+∞
⎛⎛ ⎞ ⎞
⎜⎜ + ⎟ ⎟
⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎟
⎜⎝ ⎠ ⎟
⎝ ⎠
Soit donc la fonction f définie par
1 1
( ) 2
x
x x
a b
f x
⎛ ⎞
⎜ + ⎟
= ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠
. Nous définissons alors la fonction g
par :
( )
1 1 1 1
( ) ln ( ) ln ln
2 2
x
x x x x
a b a b
g x f x x
⎛⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞
⎜⎜ + ⎟ ⎟ ⎜ + ⎟
= = ⎜⎜⎝⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ ⎟⎟⎠= ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ .
Le facteur du logarithme népérien étant x, nous allons effectuer un développement limité en +∞ de
1 1
2
x x
a +b
au premier ordre.
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On a :
1 1
( )
ln ln ln
1 1 ln ln 1 1 1
1 1 1
2 2 2 2
a b
x x
x x ab
a b a b
e e
x x ο x x ο x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = ⎜⎝ + ⎟⎠= ⎜⎝ + + + + ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠= + + ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
En considérant alors le logarithme népérien de ce développement limité, on a :
( ) ( )
1 1
ln 1 1 ln 1 1
ln ln 1
2 2 2
x x ab ab
a b
x ο x x ο x
⎛ + ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ = ⎜ + + ⎜ ⎟⎟= + ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
En multipliant par x, il vient finalement :
( ) ( )
( ) ln 1
2 g x = ab +ο
C’est à dire : xlim→+∞g x( )=ln
( )
2ab =ln( )
ab .On en déduit alors :
lim ( )
x f x ab
→+∞ =
Æ Calcul de
1 1 1
lim 3
x
x x x
x
a b c
→+∞
⎛⎛ ⎞ ⎞
⎜⎜ + + ⎟ ⎟
⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎟
⎜⎝ ⎠ ⎟
⎝ ⎠
On mène les calculs comme précédemment :
1 1 1
( )
ln 1 1
3 1 3
x x x abc
a b c
x ο x
+ + = + + ⎜ ⎟⎛ ⎞
⎝ ⎠ Puis :
( ) ( )
1 1 1
ln 1 1 ln 1 1
ln ln 1
3 3 3
x x x abc abc
a b c
x ο x x ο x
⎛ + + ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ = ⎜ + + ⎜ ⎟⎟= + ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
D’où : lim ln
( (
( )) )
ln( )
3
x
f x abc
→+∞ = .
Soit, finalement :
lim ( ) 3
x f x abc
→+∞ =
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Æ Généralisation
On considère n réels strictement positifs : a1, , a2 ..., an et on va déterminer :
1 1 1
1 2 ...
lim
x
x x x
n x
a a a
→+∞ n
⎛⎛ ⎞ ⎞
⎜⎜ + + + ⎟ ⎟
⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎟
⎜⎝ ⎠ ⎟
⎝ ⎠
A nouveau, on introduit la fonction g définie par :
( )
1 1 1
1 2 ...
( ) ln ( ) ln
x x x
a a an
g x f x x
n
⎛ ⎞
+ + +
⎜ ⎟
= = ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠
.
Au voisinage de +∞, on a :
{
1, 2,...,}
, i1x lnxai 1 ln i 1i n a e a
x ο⎛ ⎞x
∀ ∈ = = + + ⎜ ⎟⎝ ⎠.
D’où :
( )
( )
1 1 1
1 2 1 2
1 2
1 2
... 1 ln 1 ln 1 ln 1
ln ln 1 1 ... 1
ln ...
1 1
ln
ln ... 1
ln 1
x x x
n n
n
n
a a a a a a
n n x x x x x x
a a a
n n x x
a a a
nx x
ο ο ο
ο ο
⎛ + + + ⎞ ⎛ ⎛⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞⎞⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎜⎜ + + ⎜ ⎟⎟ ⎜+ + + ⎜ ⎟⎟+ + +⎜ + ⎜ ⎟⎟⎟⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎠⎠⎟
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞
= ⎜⎜⎝ ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎟⎠
⎛ ⎛ ⎞⎞
= ⎜⎝ + + ⎜ ⎟⎝ ⎠
(
1 2)
ln a a ...an 1
nx ο x
⎟⎠
= + ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠
Il vient donc, au voisinage de +∞ :
(
1 2) ( )
ln ...
( ) a a an 1
g x = n +ο
D’où : xlim→+∞g x( )= ln
(
a a1 2n...an)
=ln⎛⎜⎝(
a a1 2...an)
1n⎞⎟⎠=ln(
na a1 2...an)
. Finalement :1 1 1
1 2
1 2
lim ... ...
x
x x x
n n
x n
a a a
a a a
→+∞ n
⎛⎛ ⎞ ⎞
⎜⎜ + + + ⎟ =⎟
⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎟
⎜⎝ ⎠ ⎟
⎝ ⎠
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Résultat final
1 1 1
1 2
1 2
lim ... ...
x
x x x
n n
x n
a a a
a a a
→+∞ n
⎛⎛ ⎞ ⎞
⎜⎜ + + + ⎟ =⎟
⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎟
⎜⎝ ⎠ ⎟
⎝ ⎠
avec, en particulier :
1 1
lim 2
x
x x
x
a b
→+∞ ab
⎛⎛ ⎞ ⎞
⎜⎜ + ⎟ =⎟
⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎟
⎜⎝ ⎠ ⎟
⎝ ⎠
et
1 1 1
lim 3
3
x
x x x
x
a b c
→+∞ abc
⎛⎛ ⎞ ⎞
⎜⎜ + + ⎟ =⎟
⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎟
⎜⎝ ⎠ ⎟
⎝ ⎠
