PanaMaths Janvier 2002

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PanaMaths Janvier 2002

Déterminer :

3 3 3 3

x

lim

_→+∞^⎛⎜⎜⎝

x

^⎛⎜⎝

x + − x x − x

^⎞⎟⎠^⎞⎟⎟⎠

Analyse

On a : lim ³ ³ lim ³ ³ lim

x x x x x x x x

→+∞ + = →+∞ − = →+∞ = +∞. Nous sommes donc confrontés à une indétermination du type « ∞ − ∞ » au niveau de la différence ³ x³+ −x ³x³−x. Elle peut être levée en recherchant un développement limité en +∞.

Résolution

Considérons les fonctions f x₊( )=³ x³+x et f x₋( )= ³ x³−x. Nous allons travailler avec une seule expression : ³x³+εx, ε pouvant prendre les valeurs +1 ou −1.

On a :

( )

1 1

1 3 3

3 3 3 3 3

2 2

1 1

x x x x x x

x x

ε ε

ε ε ^⎛ ^⎛ ^⎞^⎞ ^⎛ ^⎞

+ = + =⎜⎝ ⎜⎝ + ⎟⎠⎟⎠ = ⎜⎝ + ⎟⎠

Au voisinage de +∞, 1₂

x est un infiniment petit et nous pouvons donc utiliser le développement « standard » à l’origine :

(

¹⁺^x

)

^m ^{= +}¹ ^mx⁺^{m m}

(

₂⁻¹

)

^x²⁺^{m m}

(

⁻¹_3!

)(

^m⁻²

)

^{+ +}^... ^{m m}

(

⁻¹

)(

^m⁻_n^{2 ...}_!

) (

^{m n}^{− +}¹

)

^xⁿ⁺^o

( )

^xⁿ

Comme ε²=1, les puissances paires apparaissant des las développements limités de

1 3 2

1 1 x

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et

1 3 2

1 1 x

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ seront identiques. Elles disparaîtront donc lorsque nous formerons la différences des développements limités.

Nous effectuons donc simplement, puisque nous recherchons une limite, les développements limités à l’ordre 1 :

1 3

2 2 2

1 1 1

1 1

3 o

x x x

⎛ + ⎞ = + + ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ et

1 3

2 2 2

1 1 1

1 1 o

3

x x x

⎛ − ⎞ = − + ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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