PanaMaths Janvier 2002
Déterminer :
2 1 2
lim 1
x x
x
x
+
→+∞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜⎝ ⎠ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Analyse
L’exercice ne pose pas de difficulté particulière puisqu’il n’y a aucune forme indéterminée à lever. On propose ici deux approches, selon que l’on considère ou non le logarithme népérien de la fonction.
Résolution
1
èreapproche : détermination directe
On considère la fonction f définie par :
2 1 2
( ) 1
x x
f x x
⎛ ⎞ +
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
On a : 12
lim 0
x→+∞ x
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ et 2
lim 2
1
x
x
→+∞ x
⎛ ⎞ =
⎜ + ⎟
⎝ ⎠ .
Il vient alors immédiatement : lim ( ) 02 0
x f x
→+∞ = = .
2
èmeapproche : considérer le logarithme népérien de f
Introduisons la fonction g définie sur \* par : ( ) ln
(
( ))
2 ln 12 4 ln1 1
x x
g x f x x
x x x
⎛ ⎞
= = + ⎜⎝ ⎟⎠= − + .
On a 4
lim 4
1
x
x
→+∞ x
⎛− ⎞= −
⎜ + ⎟
⎝ ⎠ et xlim ln→+∞
(
x)
= +∞.D’où : lim ( )
x g x
→+∞ = −∞ et donc : lim ( ) 0
x f x
→+∞ = .
PanaMaths Janvier 2002
Résultat final
2 1 2
lim 1 0
x x
x x
+
→+∞
⎛⎛ ⎞ ⎞
⎜⎜ ⎟ ⎟ =
⎜⎝ ⎠ ⎟
⎝ ⎠
