Le logarithme népérien

Chapitre 1

Le logarithme népérien

[. . .]

A Étude de la fonction ln

1 Croissance de ln

Théorème La fonctionln est strictement croissante sur]0; +∞[.

Preuve : La fonctionlnétant dérivable sur ]0; +∞[, de dérivée _x¹ toujours positive sur cet

intervalle, la fonctionln est strictement croissante. 2

Par conséquent, poura >0et b >0:

lna= lnb⇔a=b et lna≤lnb⇔a≤b

2 limites en 0 et +∞

Théorème On a :

x→+∞lim lnx= +∞ et lim

x→0lnx=−∞

Preuve : Soit M un réel xé aussi grand que l'on veut. Soitn un entier naturel vériant nln 10> M. Alors pour tout x >10ⁿ on aura, puisque lnest croissante :

lnx >ln 10ⁿ=nln 10> M Donclim_x→+∞lnx= +∞

En posant X = 1/x, on a lnx= ln(1/X) =−lnX. Quandxtend vers 0(x >0),X tend vers+∞. Ainsi :

x→0limlnx= lim

X→+∞−lnX =−∞

2 1

2 CHAPITRE 1. LE LOGARITHME NÉPÉRIEN

3 Le nombre e

Nous savons queln est continue (car dérivable) (et qu'elle est croissante). En fait, ln(2)' 0,7 <1 et ln(3) ' 1,1 > 1. Par le théorème des valeurs intermédiaires il existe donc un unique nombre dont l'image parlnest1.

Dénition On noteel'unique nombre vérifant lne= 1 La valeur deeest environ 2,71828

Proposition Soit m un entier relatif. L'équationlnx=m a pour unique solution e^m. De même,lnx≤m⇔0< x≤e^met lnx≥m⇔x≥e^m.

Preuve : On am=m×1 =mlne= ln(e^m). Donc l'équation s'écritlnx= ln(e^m), ce qui est équivalent àx=e^m.

On raisonne de même pour les inéquations.

→Exercice 47p96

4 Représentation graphique

Représenter les variations de la fonction ln dans un tableau, puis le graphe, avec la valeur eneet en1 et la tangente en1.

→Exercice 64

B Limites où intervient la fonction ln

Proposition lim_x→+∞^ln_x^x= 0

Preuve : Le tracé de la fonctionlnfait penser à celui de√

x. En fait, prouvons quelnx <√ x. Pour cela, étudions la fonctionf :x7→lnx−√

xdénie pourx >0.

f⁰(x) = 1 x− 1

2√

x= 2√ x−x 2x√

x =2−√ x 2x f⁰(x)≥0⇔√

x≤2⇔0< x≤4

Tableau de variation : maximum en4 :f(4)<0 doncf est bien négative pour toutx >0. Donclnx <√

xpour toutx >0. On a alors l'encadrement (pour toutx >0) :

0<lnx x <

√x x = 1

√x

Orlim_x→+∞^√1_x = 0. On a donc bien

x→+∞lim lnx

x = 0

2 Proposition lim_x→0xlnx= 0

Preuve : PosonsX =_x¹. Six→0 (x >0), alorsX →+∞, et

xlnx= 1 X ln(1

X) =−1

X ln(X) =−lnX X

C. VARIATION DE LA FONCTIONLNU 3

D'où le résultat 2

Proposition pour toutn≥2,lim_x→+∞^ln_xn^x = 0 Preuve :

lnx xⁿ = 1

xⁿ⁻¹ lnx

x

Commen−1>0, les deux termes du produit tendent vers0, donc la limite est0. 2

→Exercices 60,62,63

→Exercices 83 (étude fonction)

C Variation de la fonction ln u

Proposition Soit u une fonction positive dénie sur un intervalle I. Alors la fonction lnua les mêmes variations que la fonctionusur l'intevalleI.

Preuve : Lorsqueuest croissante, on a, pourxet y sur l'intervalle de croissance x≤y ⇔ u(x)≤u(y)

⇔ lnu(x)≤lnu(y)car ln est croissante

Donclnuest croissante.

Lorsqueuest décroissante, on a, pourxet ysur l'intervalle de décroissance x≤y ⇔ u(x)≥u(y)

⇔ lnu(x)≥lnu(y)car ln est croissante

Donclnuest décroissante 2

Exemple Soitf(x) = ln(2−x)dénie sur]−∞; 2[. La fonctionx7→2−xétant décroissante, on en conclut quef est également décroissante.