Logarithme Népérien

Terminale Spécialité

ROC

LesROC, (Restitution Organisée de Connaissances), sont les démonstrations du cours à connaître indiquées explici- tement dans le nouveau programme de terminale Spécialité entré en vigueur à la rentrée 2020. Ce chapitre ne compte pas de ROC.

I La fonction logarithme népérien

La fonction exponentielle est continue, strictement croissante et strictement positive sur R. D’après le théorème de la valeur intermédiaire, pour tout réelk >0, l’équation e^x=kadmet donc une unique solution dansR.

On définit une nouvelle fonction appelée logarithme népérien qui à tout réelk strictement positif, associe son unique antécédent par la fonction exponentielle.

I.1 Définition

Pour tout réelk >0, l’équation e^x=kadmet une unique solutionα.

On note ln(k) et on lit logarithme népérien de k, la solution de cette équation.

On en déduit que :ln 1 = 0etln e = 1







07−→_exp e⁰= 1 17−→_ln ln 1 = 0 et







17−→_exp e¹= e e 7−→_ln ln e = 1

0 1

1

x y

e

e y= e^x

y= lnx

Propriété 1(Logarithme (Admis))

x

Variations de x7−→ e^x

−∞ +∞

0 0

+∞ +∞ α= lnk

k ln 1 = 0

1

lne = 1

e ≈2.718

• La fonction logarithme népérien est la fonction qui, à tout réel strictement positifx, associelnx.

• On notelnx, au lieu deln(x), le logarithme népérien dex, lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté.

ln :

( ]0 ; +∞[ −→ R

x 7−→ lnx avec e^lnx=x Définition 1(La fonction logarithme népérien)

On dit que la fonction logarithme népérien est lafonction réciproquede la fonction exponentielle.

Dans un repère orthonormé, leurs courbes représentatives sontsymétriques par rapport à la droiteDd’équationy =x(la première bissectrice).







07−→_exp e⁰= 1 17−→_ln ln 1 = 0 et







17−→_exp e¹= e e 7−→_ln ln e = 1

0 1

1

x y

e

e y=e^x

y= lnx

Propriété 2(Courbes symétriques et fonction réciproque)

I.2 Conséquences

1. La fonction ln est définie et continue sur]0 ; +∞[.

2. Pour tout réelxstrictement positif : e^lnx=x

3. Pour tout réelx:

ln (e^x) =x Propriété 3

Les deux premières assertions résultent directement de la définition. Pour la troisième, on remarque que :

• Par définition,lnaest l’unique solution de l’équation e^x=adonc aveca= e^x:

• lne^xest l’unique solution de l’équation e^x= e^xsoit simplementx. Donclne^x=x.

Preuve

II Propriétés algébriques

II.1 Propriété fondamentale

Pour tous réelsaetbstrictement positifs :

ln(a×b) = ln(a) + ln(b) Théorème 1

Soienta > 0et b > 0 deux réels strictement positifs, par définition de la fonction logarithme,lnk est l’unique solution de l’équation e^x=kdonc e^lnk=kce qui nous donne :

• Pourk=a, l’égalité :a= e^lna;

• Pourk=b, l’égalité :b= e^lnb;

• Pourk=ab, l’égalité :ab= e^lnab; D’autre part :

a×b= e^lna×e^lnb= e^lna+lnb D’où puisque par définition e^ln(a×b)=a×b:

e^ln(a×b)= e^lna+lnb Donc

ln (a×b) = lna+ lnb

Preuve

• John Napier inventa en 1617 les logarithmes, du grec logos (rapport, raison) et arithmos (nombre), et une méthode de calcul transformant les multiplications en additions.

• La fonction exponentielle transforme une somme en produit, sa fonction réciproque, la fonc- tion logarithme népérien transforme un produit en somme.

Remarque

II.2 Autres règles de calcul

Pour tous réelsaetbstrictement positifs etnentier relatif : 1. ln

1 a

=−lna 2. lna

b

= lna−lnb

3. ln (aⁿ) =nlna 4. ln (√

a) = 1 2lna Théorème 2

1. Soita >0alors 1

a>0. Ora×1

a= 1donc ln

a×1

a

= ln 1 ⇐⇒ lna+ ln1

a = 0 ⇐⇒ ln1

a =−lna 2. Soienta >0etb >0

lna b

= ln

a×1 b

= lna+ ln1

b = lna−lnb 3. Soienta >0un réel strictement positif etnun entier relatif,

e^ln(an)=aⁿet e^nlna = e^lnan

=aⁿ Donc e^ln(an)= e^nlnaet par conséquent,ln (aⁿ) =nlna.

4. Soita >0alors(√a)²=adonc

lna= ln √ a2

= 2 ln√ a

Preuve

III Étude de la fonction

1. La fonction logarithme népérien est dérivable sur]0 ; +∞[et pour tout réelx >0: ln^′(x) = 1

x 2. La fonction ln est strictement croissante sur]0 ; +∞[.

3. On a :

lim

x→0⁺ lnx=−∞ et lim

x→+∞ lnx= +∞

x

Variations de x 7−→ lnx

0 +∞

−∞

+∞ +∞ 1

0

4. Pouraetbstrictement positifs,

(a=b⇐⇒lna= lnb a < b⇐⇒lna <lnb Propriété 4

1. Dérivée.

On admet que la fonctionlnest dérivable sur]0; +∞[.

Soitf la fonction définie sur]0; +∞[parf(x) = e^lnx. La fonctionf est dérivable sur]0; +∞[et pour tout réelx >0,

f^′(x) = ln^′(x)×e^lnx= ln^′(x)×x Or pour tout réelx >0,

f(x) =x=⇒f^′(x) = 1 Ainsi pour tout réelx >0,

ln^′(x)×x= 1 =⇒ln^′(x) = 1 x 2. Variations.

Puisquex >0, la dérivée de la fonctionlnest strictement positive, donc la fonctionlnest strictement croissante sur]0 ; +∞[.

3. Limites.

• En+∞.

SoitAun réel etxun réel strictement positif. Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante surRon a :

lnx > A ⇐⇒ e^lnx=x > e^A De ce fait, pour tout réelA, aussi grand soit-il,

il existe un réelm= e^Atel que pour tout réelx >0tels quex > m= e^A, on alnx > A.

Ce qui peut s’écrire :

∀A∈R ,∃m= e^A ,∀x∈]0 ; +∞[ ,

x>m=⇒lnx>A

Preuve

Cela montre que la fonction logarithme tend vers+∞en+∞.

• En0.

La variablextend vers 0 avecx >0. on pose : X= 1

x ⇐⇒ x= 1 X Donc sixtend vers0⁺, alorsX tend vers+∞.

On en déduit par théorème de composition que :







x→lim0⁺

1 x = +∞

X→lim+∞ lnX = +∞ =⇒ lim

x→0⁺ ln 1 x = +∞ De ce fait, pourx >0







x→lim0⁺ ln1 x = +∞ ln1

x =−lnx

=⇒ lim

x→0⁺ lnx=−∞

III.1 Conséquences

Pour tout réelxstrictement positif :

(lnx= 0⇐⇒x= 1 lnx >0⇐⇒x >1

=⇒lnx <0⇐⇒0< x <1

La fonction logarithme est négative sur l’intervalle]0 ; 1]; positive sur l’intervalle[1 ; +∞[; nulle en 1.

Théorème 3

0 1

1

x

y

e ≈2.7

e ≈2.7 y= e^x

y= lnx

x 0 0.1 0.5 1 2 e ≈2.7 3 4 5 6 7 8 9 10

lnx Indéfini -2.3 -0.7 0.0 0.7 1.0 1.1 1.4 1.6 1.8 1.9 2.1 2.2 2.3

III.2 Compléments sur les limites et sur les dérivées

• lim

x→+∞

lnx x = 0

• lim

x→0⁺ xlnx= 0

On rappelle que :

• lim

x→+∞

e^x x = +∞

• lim

x→−∞ xe^x= 0 ⇐⇒ lim

x→+∞ xe^−x= 0 Propriété 5(Croissances comparées)

1. Limite en+∞de lnx x .

En posantX = lnxpourx >0on ax= e^Xet : lnx

x = X

e^X =X e^−X

Donc puisqueX = lnxtend vers+∞quandxtend vers+∞on a d’après les croissances comparées :

x→lim+∞

lnx

x = lim

X→+∞

X e^−X= 0 2. Limite en0⁺dexlnx.

En posantX = 1

x pourx >0on ax= 1 X et : xlnx= 1

X ln 1

X =−lnX X Donc puisqueX= 1

xtend vers+∞quandxtend vers0⁺on en déduit par le théorème de composi- tion :

x→lim0 xlnx= lim

X→+∞

−lnX

X = 0

Preuve

La fonction ln est dérivable en 1, on en déduit que :

x→lim0

ln(1 +x)

x = 1 = ln^′(1) Propriété 6(Avec le nombre dérivé en 1)

On rappelle que si la fonctionfest dérivable enaalors la limite suivante existe et :

xlim→a

f(x)−f(a)

x−a =f^′(a) ⇐⇒ lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h =f^′(a)

Or la fonction logarithme est dérivable en 1 donc la limite suivante existe et (avecx=h) :

x→lim0

ln(x+ 1)−ln(1)

x = ln^′(1)

Preuve

Ce qui nous donne puisqueln^′(x) = 1

xetln 1 = 0:

xlim→0

ln(x+ 1)

x = 1

Soituune fonction dérivable sur I et telle queu >0sur un intervalle I. Alors la fonctiong : x7−→lnu(x) est dérivable sur I et

g^′(x) = u^′(x) u(x) Propriété 7(Dérivée delnu(Admis))

IV Équations et inéquations

Les fonctions ln est exponentielle sont strictement croissantes, on peut donc (sous réserve d’existence) composer par ln et exp dans les inéquations (et équations). La propriété utilisée pour la résolution d’équations et d’inéquations est la suivante :

Pour tout réelxstrictement positif on a : e^lnx=x

Pour tout réelxon a :

ln (e^x) =x Ce que l’on écrit souvent de façon abusive, pourT RU C >0:

e^{ln T RU C} =T RU C et ln e^{T RU C}

=T RU C Théorème 4

IV.1 Inéquations et suites : Point BAC

On considère la suite(an)définie par :

∀n∈N; an= 85×(0,2)ⁿ+ 15 Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels

an <15,004 Exemple 1(Avec les suites)

On a pour tout entiern:

an <15,004⇐⇒85×0,2ⁿ+ 15<15,004

⇐⇒85×0,2ⁿ<0,004

⇐⇒0,2ⁿ<0,004 85

Preuve

On compose dans les deux membres par la fonction ln strictement croissante sur]0 ; +∞[soit :

an <15,004⇐⇒ln 0,2ⁿ<ln0,004 85

⇐⇒nln 0,2<ln0,004 85 On divise les deux membres parln 0,2<0, l’ordre change :

an <15,004⇐⇒n >

ln0,004 85

ln 0,2 ≈6,2

Donc puisquenest un entier positif, les solutions de l’inéquation sont les entiers supérieurs ou égaux à 7.

an<15,004⇐⇒n>7

Astuce : Le piège dans ce genre de question est la division parlnqdans une inégalité. Il faut bien avoir en tête que :

• Siq∈]0 ; 1[alorslnq <0. Il faudra donc changer le sens de l’inéquation si on divise chaque membre parlnq.

• SIq >1alorslnq >0. Dans ce cas, l’ordre ne changera pas après division parlnq

Remarque

IV.2 Inéquations et fonctions : Point BAC

L’application essentielle est l’étude de signe d’une fonction dérivée afin de dresser le tableau de variations sur un intervalle donné. La rédaction est toujours la même, il faut faire très attention au fait que les solutions des inéquations doivent appartenir à l’intervalle. On procède toujours ainsi

Soitf la fonction définie sur [0 ; 8] par :f(x) = 8e^−x (20e^−x+ 1)².

Un logiciel donne la dérivée def sur [0 ; 8] :f^′(x) = 8e^−x× 20e^−x−1 (20e^−x+ 1)³. Étudier les variations def et dresser le tableau de variations sur [0 ; 8].

1. On exhibe les termes strictement positifs.

La fonction exponentielle est strictement positive surRde ce fait :

∀x∈[0 ; 8] ; e^−x>0 =⇒

(8e^−x>0

(20e^−x+ 1)³>0 2. Étude du signe de la dérivée.

La dérivée est donc du signe20e^−x−1soit

• On a pour tout réelx∈[0 ; 8]: f^′(x) = 0⇐⇒20e^−x−1 = 0 f^′(x) = 0⇐⇒e^−x= 1

20

En composant par la fonctionlndéfinie sur ]0 ; +∞[, on a :

f^′(x) = 0⇐⇒ −x= ln 1

20 =−ln 20 f^′(x) = 0⇐⇒x= ln 20≈3∈[0 ; 8]

soit

∀x∈[0 ; 8] ; f^′(x) = 0⇐⇒x= ln 20

• En outre pour tout réelx∈[0 ; 8]: f^′(x)<0⇐⇒20e^−x−1<0 f^′(x)<0⇐⇒e^−x< 1

20

En composant par la fonctionlnstrictement croissante sur]0 ; +∞[, on a :

f^′(x)<0⇐⇒ −x <ln 1

20 =−ln 20 f^′(x)<0⇐⇒

(x >ln 20≈3 et x∈[0 ; 8]

soit

∀x∈[0 ; 8] ; f^′(x)<0⇐⇒ln 20< x <8 En conséquence sur l’intervalle[0 ; 8]:

f^′(x)<0⇐⇒ln 20< x <8 f^′(x) = 0⇐⇒x= ln 20







=⇒ f^′(x)>0⇐⇒0< x <ln 20

3. On dresse alors le tableau de variations def.

x f^′(x)

f

0 ln 20 8

+ 0 −

8 21²

8 21²

f(ln 20) f(ln 20)

f(8) f(8) Méthode 1(Signe de la dérivée)

V Compléments (Non Exigible)

V.1 Fonctions puissances

1. Poura∈R, on noteϕala fonction définie par :

ϕa :

( R^∗₊ −→ R^∗₊

x 7−→ ϕa(x) =x^a= e^alnx 2. Les fonctionsϕasont appeléesfonctions puissances.

Définition 2(Fonctions puissances)

La fonctionϕaest dérivable surR^∗₊et :

∀x∈R^∗₊ , ϕ^′_a(x) =ax^a−1 Propriété 8

Étudier les variations et les limites (en 0 et+∞) defdéfinie par :

f :

( R^∗₊ −→ R

x 7−→ f(x) =x^x

Exercice 1

V.2 Logarithmes de base quelconque

1. Soitaun réel strictement positif et différent de 1, on appellelogarithme de base a, la fonction, notée log_a, définie surR^∗₊par :

log_a:







R^∗₊ −→ R

x 7−→ log_a(x) =lnx lna 2. Sia= e , on retrouve lelogarithme népérien.

3. Sia= 10, on obtient lelogarithme décimalque l’on note aussilog.

C’est le logarithme utilisé en physique (décibels) et en chimie (pH).

Définition 3(Logarithmes de base quelconque)

Soitpen entier. Le logarithme décimal de10^pest égal àpsoit : log 10^p=p Propriété 9

Soitpen entier. Le logarithme décimal de10^pest égal à : log 10^p=ln 10^p

ln 10 = pln 10 ln 10 =p

Preuve

Soitnun entier naturel strictement positif.

Montrer que le nombre de chiffres nécessaires pour écrirenen base 10 est égal à la partie entière de(1 + logn).

Exercice 2

Supposons que l’entierns’écrivent avec(p+ 1)chiffres en base 10.

n=ap· · ·a2a1a0=

p

X

k=0

ak×10^k Avecap∈J1 ; 9Ketak∈J0 ; 9Kpourk∈J0 ; p−1K.

Cela peut sembler assez évident, si l’entierns’écrit avec(p+ 1)chiffres en base 10 (voir preuve ci-dessous) on a :

10^p6n <10^p+1 La stricte croissance de la fonction log surR^∗₊nous donne alors :

10^p6n <10^p+1=⇒log 10^p6logn <log 10^p+1 Soit d’après la propriété 9 :

p6logn < p+ 1 Et donc par définition de la partie entière :

p=⌊logn⌋ ou p+ 1 =⌊logn+ 1⌋

Conclusion : le nombre de chiffres nécessaires pour écriren en base 10 est égal à la partie entière de (1 + logn).

Preuve que10^p 6n <10^p+1:

Puisque :ap∈J1 ; 9Ketn=ap· · ·a2a1a0=

p

X

k=0

ak×10^kon a :

10^p6ap10^p6n6

p

X

k=0

9×10^k= 9×1−10^p+1

1−10 = 10^p+1−1<10^p+1

Preuve

" Fin du cours #