Cours sur le logarithme népérien

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Le logarithme Népérien Histoire:

Alors qu'il travaillait à simplifier les calculs trigonométriques des astronomes, John ... (1550-1617) fut amener à généraliser les travaux de Chuquet et de Stifel sur les liens entre progressions arithmétiques et géométriques. Néper inventa ainsi les ... Il publia son travail en 1614. Plus tard, principalement avec Descartes puis Euler, le logarithme prendra son statut de fonction.

I- Logarithme népérien d'un nombre:

La fonction exponentielle est:

-...

-... et de plus; lim expx = 0 et lim exp(x) = ∞

x−∞ x∞

Donc la fonction exponentielle est une ... de ℝ dans ]0; ∞ [

Pour tout a de l'intervalle ]0; ∞ [ sur l'axe y, il admet un seul...par la fonction exponentielle que l'on convient de noter ... et que l'on appelle ...

Remarque:

ln(a) n'a pas de sens que si a0

...

Exemples:

ln(e) = ... car exp(1) = e ln(1)=... car exp(0)=...

-Pour tout réel a, a > 0, exp[ln(a)] = ...

- Pour tout réel b, positif ou négatif, ln[exp(b)]=...

Propriétés et démonstrations:

ln(ab) = ln(a) + ln(b)

2 -1

-2 -3

2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3

0 1

1

x y

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Soient a et b deux réels strictement positifs.

e^ln^ab = ab et e^ln^a^ln^b = e^lna^Xe^ln^b = ab => Relation fondamentale

Or si deux nombres ont la même exponentielle, ces deux nombres sont égaux puisque exp est une bijection.

Cas particuliers:

Si a = b dans la relation fondamentale, on a lna²=2lna . En est-il pareil pour toutes les puissances?

Raisonnement par récurrence:

Soit n∈ℕ , vérifions que lnaⁿ=nlna

Si n = 0, lna⁰ = 0 (car ln(1) = 0 donc 0ln(a))

Supposons que pour n∈ℕ , lnaⁿ=nlna donc lna^n1=lnaⁿlna¹ (d'après les propriétés des puissances.)

D'où: lna^n1=lnaⁿlna (par la relation fondamentale) lna^n1=nlnalna (hypothèse de récurrence)

lna^n1 = n1lna donc ∀n∈ℕ,lnaⁿ = nlna

...

ln( a

b ) = ln(a) - ln(b)

...

Calculons:

lna

blnb=lna

b X b d'après la relation fondamentale. D'où:

lna

blnb=lna Donc lna

b=lna−lnb

...

ln1

b=−lnb ln1

blnb=ln1 bX b

ln1

blnb=0 ln1

b=−lnb CQFD

...

∀n∈ℤ,lnaⁿ = nlna Soit n∈ℤ négatif non nul.

lnaⁿ=ln 1

a⁻ⁿ Et donc -n > 0 lnaⁿ = −−nlna

lnaⁿ=nlna

...

ln



a=1 2lna ln



^{a X}



^a=ln^a^

ln



aln



a=2ln



a

ln



a=1 2lna

(3)

II- La fonction logarithme népérien:

1. Définition:

On appelle fonction logarithme népérien la fonction, noté ln, qui à tout réel x strictement positif associe le réel ln(x)

2. Étude de la fonction logarithme népérien:

Soit la fonction ƒ définie par ƒ(x) = ln(x)

Faire l'étude de cette fonction et construire la représentation graphique (Cf) de la fonction ƒ dans un plan rapporté à un repère orthonormal ( O ;i ;j ). On déterminera en particulier la dérivée de la fonction ƒ et on précisera la position relative de la courbe de la fonction logarithme népérien par rapport à celle de la fonction exponentielle.

3. Représentation graphique:

...

4. Démonstrations à connaître:

Démontrer que limlnx

x−1=1

x1 . En déduire que limln1h

h =1

h0

Soit g la fonction définie sur ] 0; ∞ [ par g(x) = lnx−2



x Étudier les variations de la fonction g.

Démontrer que, pour tout x de [1; ∞ [, ^0^ln^_x^x^^ ²



x . En déduire limlnx

x  x∞

Démontrer que

lim xlnx=0 x0

x0 .

Déterminer, pour tout entier n strictement positif, limlnx

xⁿ 

et lim xⁿlnx x0

2 3 4 5

-1 -2

-3

2 3

-1

-2

-3

0 1

1

x y

(4)

Montrer que l'équation ƒ(x) = m, m réel, admet une solution unique dans ]0; ∞ [

...

Conséquences:

Compléter pour a et b étant deux réels strictement positifs:

● ln(a) = ln(b) <=> ...

● lnalnb <=> ...

● lnalnb <=> ...

Compléter pour x réel strictement positif:

● ln(x) = 0 <=>...

● lnx0 <=>...

● lnx0 <=> ...

III- Fonction ln°u

Dérivée de ln°u :

Soit une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.

La fonction ln°u est dérivable sur I et pour tout x de I, ( ln°u )'(x) = ^{u '}_u^^x^

x . IV- Applications:

1. Résoudre dans ℝ :

a. ln(x²-1) = ln(2x); b. lnx−2ln2x1 ; c. ln(1-2x) = -2

d. 2lnx0 ; e. ln3−xln2−lnx10 ; f. 2lnx²5lnx−3=0 2. Déterminer les limites suivantes:

a. lim ln x−1 2x3 x−∞

; b. limlnx

x−e  xe

; c. lim xlnx²

x0 ; d. limln12x

3x  x0

3. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que 2 3

n

10⁻³

4. ƒ est une fonction définie sur l'intervalle ]0; ∞ [ par ƒ(x) = x – 4 + ln x x1 . a) Étudier la fonction ƒ. Préciser les asymptotes éventuelles.

b) Montrer que l'équation ƒ(x) = 0 a une solution unique ^ et que ^4⁵ . 5. Le but du problème est l'étude de la fonction ƒ définie sur ]0; ∞ [ par:

f x=lnexp2x−1

expx A) Étude de la fonction auxiliaire g:

Soit g la fonction définie sur ]1; ∞ [ par: g(x) = 2x – (x-1)ln(x-1) 1. Déterminer la limite de g en1.

2. Déterminer la fonction dérivée de g.

(5)

3. Résoudre l'équation: ln(x-1) < 1. En déduire le tableau de variations de g.

4. Montrer que l'équation g(x) = 0 a, dans l'intervalle [ e1; e³1 ], une solution unique notée ^ . Étudier le signe de g(x) sur chacun des intervalles ]1;  [ et ]  ; ∞ [.

B) Étude de ^ :

Soit la fonction  définie sur ]1; ∞ [ par: ^{ }x=lnx²−1

x 1. Calculer lim x

x1 et limx x∞ .

2. Calculer 'x et montrer que 'x est du signe de g(x²) sur ]1; ∞ [.

En déduire que  est croissante sur ]1;



^ [ et décroissante sur ]



^ ^; ^∞ ^[.

C) Étude de ƒ:

1. Vérifier que pour tout x de ]0; ∞ [, on a: ƒ(x) = e^x 2. En déduire limƒx

x0 et limƒx x∞

3. En déduire que ƒ admet un extremum en ln



^ et les variations de ƒ sur ]0; ∞ [ V- Primitives et intégrales en utilisant la fonction logarithme népérien:

Si ƒ est de la forme: Avec u dérivable sur I tel

que: Alors une primitive F est de la forme...

u '

u u > 0 sur I ln(u) Dans les deux cas:

ln∣u∣

u < 0 sur I ln(-u)

Applications:

1. Calculer, si possible, les intégrales suivantes:

I =

∫

₋₂⁻¹^2t^3−⁵_t^_t²⁶^^dt ; J =

∫

0

1 1

2x1dx ; K =

∫

e

e²lnt t dt L =

∫

−1

1 −2

3x−1dx

2. Calculer, en utilisant une intégration par partie:

I =

∫

1

elntdt

3. Soit In=

∫

eⁿ

e^n2

lnt

t² dt , où n∈ℕ . a) Calculer In à l'aide d'une intégration par partie.

b) Calculer lim I_n n∞ .