TSTI2D Cours sur le logarithme népérien.

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TSTI2D Fonction logarithme népérien

Année scolaire 2020-2021

I. La fonction logarithme népérien . Définition.

A tout nombre b > 0 correspond un unique nombre réel a tel que e^a = b.

a est appelé le logarithme népérien de b. On le note ln (b).

On définit ainsi une fonction de ] 0 ; + ∞ [ dans ℝ par : ln : ] 0 ; + ∞ [ → ℝ

x ↦ ln (x)

Propriétés :

• Si b est un réel strictement positif et a est un réel quelconque alors on a : e^a = b si et seulement si a = ln (b).

• Pour tout réel b strictement positif, e ^{ln (b)} = b.

• Pour tout réel a, ln (e^a) = a.

• ln (e) = 1

• ln (1) = 0

• si b > 1 alors ln (b) > 0

• si 0 < b < 1 alors ln (b) < 0

Propriétés :

Pour tous réels a et b strictement positifs :

• ln(a) = ln(b) si et seulement si a = b.

• ln(a) < ln(b) si et seulement si a < b.

I I . Relation fonctionnelle et propriétés algébriques . Propriété fondamentale :

Soit a et b deux réels strictement positifs alors ln(a × b) = ln a + ln b

démonstration :

On considère a et b deux réels strictement positifs.

On a a = e ^{ln a}, b = e ^{ln b} et a × b = e ^{ln(a × b)}. mais a × b = e ^{ln a}× e ^{ln b}= e ^{ln a +}^{ln b}.

On a donc e ln(a × b) = e ^{ln a +}^{ln b} c'est-à-dire ln(a × b) = ln a + ln b.

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Exemple :

ln 6 = ln ( 2 × 3) = ln 2 + ln 3 Conséquences :

Soit a et b deux réels strictement positifs alors :

• ln

(

¹a

)

= – ln a

• ln

(

^ab

)

= ln a – ln b

• ln

√

^a ⁼¹₂ ^{ln a}

• Pour tout entier relatif n, ln (aⁿ) = n ln a.

Exemples :

• ln 16 = ln ( 2⁴) = 4 × ln 2

• ln 1

3 = – ln 3

• ln 25

4 = ln 25 – ln 4 = 2 × ln 5 – 2 × ln 2

I II . Étude de la fonction ln . Propriété :

La fonction logarithme népérien est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ et sa dérivée est la fonction inverse.

On a donc (ln x)’ = 1 x .

Conséquence :

La fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [.

Remarques :

• On dit que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont fonctions réciproques l'une de l'autre.

• Les courbes de ces deux dernières fonctions sont symétriques par rapport à l'axe d'équation y = x.

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Propriétés :

• lim

x→0⁺ln(x) = – ∞.

• lim

x→+ ∞

ln(x) = + ∞.

On peut résumer ces dernières propriétés à l’aide d’un tableau de variation :

x 0 + ∞

f ’(x) +

f(x)

– ∞

+ ∞

On peut aussi dresser le tableau de signes suivants :

x 0 1 + ∞

f (x) – 0 +

Propriété :

Pour tout x > 0, log (x) = ln(x) ln(10).

Exemple :

log(1000) = ln(1000)

ln(10) = ln(10³)

ln(10) = 3 ln(10) ln(10) = 3.