Cours : Logarithme Népérien

CHAPITRE VI

La fonction logarithme népérien.

→

Tout comme la fonction exponentielle, la fonction logarithme apparaît dans de nombreuses équations extérieures aux Mathématiques pures.

La plus célèbre reste à l’heure actuelle, l’équation issue de la chimie permettant de déterminer le pH d’une solution connaissant la concentration de H O₃ ⁺ : pH = −log[H O₃ ⁺].

Très fortement liée à la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien, notée ln, possède des propriétés très analogues à cette dernière.

Nous expliquerons ce phénomène à l’aide de la notion de bijection réciproque d’une fonction, qui est certes hors programme énoncée tel quel, mais qui est en fait utilisée de manière

systématique dans la résolution des équations.

Nous chercherons donc, dans un premier temps à définir proprement la fonction logarithme népérien (à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires).

Notons tout de suite que selon la progression choisie par votre enseignant, plusieurs définitions (équivalentes) sont possibles.

Par exemple :

→

La fonction ln est la fonction définie sur ℝ^*₊ par : pour tout y > 0, ln( )y est l’unique solution de e^x =y.

→

La fonction ln est la fonction dérivable sur ℝ^*₊ qui vérifie ( ) ( ) ( ) (1) 0

f x y f x f y f

× = +



=

 .

→

La fonction ln est la primitive sur ℝ^*₊ (qui s’annule en 1) de la fonction inverse.

Nous déterminerons ensuite les différentes propriétés de la fonction logarithme népérien, ainsi que son lien avec la fonction logarithme décimal, que vous avez déjà rencontrée…

Position du problème

Depuis le chapitre sur la fonction exponentielle, de nombreuses méthodes ont été vues.

Nous sommes (normalement) capables d’étudier les variations de telles fonctions, certaines équations différentielles, des équations du type e^2x−3e^x+ =2 0, e^x =e^y… des questions, somme toute, relativement compliquées.

Mais que dire de l’équation basique e^x=3 ??

Exercice 0-0

Démontrer que l’équation e^x=3 admet une unique solution sur IR.

En donner une valeur approchée au dixième.

Notion de bijection – fonction réciproque Ceci est un aperçu loin d’être inutile, de la notion de bijection réciproque.

Bien qu’officiellement hors programme, je vous conseille de traiter les exercices de cette partie, présentée volontairement de manière simple.

Exercice 0-1

Soit f la fonction affine définie sur IR par f x( )=2x−3.

1. Démontrer que pour tout réel m, l’équation f(x) = m admet un unique antécédent.

Vous noterez g(m) cet antécédent.

2. Calculer f g m( ) puis gf x( ).

3. Tracer C_f,C_g et D : y =x dans le même repère. Que constatez vous ?

Exercice 0-2

Soit f la fonction définie sur IR par f x( )=x². 1. Tout nombre m admet-il un antécédent ? 2. On se place désormais sur I=ℝ⁺.

Démontrer que tout réel m de I admet un unique antécédent lui aussi dans I.

Comment a-t-on l’habitude de noter cet antécédent ? 3. En le notant g(m), calculer f g m( ) puis g f x( ). 4. Tracer C_f,C_g et D : y =x dans le même repère.

Note

Tous les exercices ou les démonstrations des

propriétés de ce chapitre se trouvent à la

fin de ce document.

I – Une définition de la fonction logarithme népérien.

Premières propriétés Définition.

La fonction exponentielle est définie, continue et strictement croissante de IR dans ]0;+∞[ . D’après le théorème des valeurs intermédiaires,

∀ y > 0, l’équation e^x = y admet une unique solution dans IR.

On va la noter ln(y).

1. Le logarithme népérien du réel y strictement positif est donc l’unique solution de l’équation e^x = y.

On le note x = ln y.

2. On définit ainsi la fonction ln :y→^ln ln( )y , sur ]0 ; +∞[ qui à tout y > 0 associe ln(y), l’unique solution de e^x = y.

On notera par la suite f(x) = ln(x) cette fonction appliquée à x.

Propriété I-1.

(1) La fonction ln est définie sur ℝ^*₊, et elle est à valeurs dans IR : cad : ln : ]0 ; +∞[ −−−→ IR . (2) Pour tout x > 0, e^ln(x) = x.

(3) Pour tout réel x, ln(e^x) = x, ∀ x ∈ IR . (4) ln(1) = 0 et ln(e) = 1.

Remarque.

Nous sommes désormais capables de répondre à une de nos questions initiales : pour tout a > 0, l’équation e^x=a admet une unique solution x = ln(a).

Propriété I-2.

La fonction ln est croissante sur ]0 ; +∞[ . Pour tout 0 < a < b, ln a < ln b.

Propriété I-3.

Pour tout a > 0, b > 0 : ln a = ln b ⇔ a = b -1

-2 0 1

1

x y

y

ln(y)

Propriété I-4.

Le signe de la fonction ln est donné par : ln(x) < 0 ⇔ ∈x ]0;1[

ln(x) ≥0 ⇔ ∈ +∞x ]1; [

Exercice I-5.

1. Donner le domaine de définition des fonctions suivantes : f(x) = ln(x²) et g(x) = ln(6 − x).

2. Résoudre l’équation f(x) = g(x) dans le domaine approprié.

3. Résoudre l’inéquation g(x) ≥ 0.

4. Résoudre l’inéquation f(x) < 0.

Exercice I-6.

1. Résoudre l’équation (ln x)²− ln x − 6 = 0.

2. Résoudre l’inéquation (ln x)²− ln x − 6 ≤ 0.

II - Propriétés de la fonction ln

Nous avons déjà vu que pour la fonction exponentielle, on a : e^a+b = e^a × e^b c’est à dire f(a+b) = f(a) × f(b).

De plus cette, si on impose f dérivable et non nulle, cette équation fonctionnelle caractérise la fonction exponentielle (voir Td sur le site).

Il semble naturel de penser que la fonction ln vérifie une équation semblable : Théorème II-1.

(1) Pour tout a > 0 et b > 0, ln(a × b) = ln a + ln b.

(2) De plus, la fonction ln est la seule fonction dérivable sur ℝ^*₊, telle que ( ) ( ) ( ) (1) 0

f a b f a f b f

× = +



 = .

Propriété II-2.

(1) Pour tout a > 0, ln(a²) = 2 ln(a)

(2) Plus généralement, pour tout a > 0, n∈IN, ln(aⁿ)= n.ln(a) (3) Pour tout a > 0, ln( 1

a ) = − ln(a).

(4) Pour tout a > 0 et b > 0, ln( a

b ) = ln(a) − ln(b).

(5) Pour tout entier naturel n, ln(a⁻ⁿ) = −n.ln(a) (6) Pour tout a > 0, ln( a) = ½ ln(a)

(7) Plus généralement, ln(aⁿ) = n ln(a) avec n∈∈∈Q (donc sur Z) ∈

Indication :

(2) : seuls ceux qui ont fait la récurrence peuvent le démontrer (proprement)…

(7) : on peut traiter ce point sans pour autant savoir ce qu’est une puissance rationnelle...

Remarque.

L’erreur suivante est fréquente : ^ln

( (

^x+1

)

²

)

^{=2 ln}

⁽

^x+1

⁾

pour tout x différent de -1.

Attention ! ln(x+1) n’a de sens que pour x > -1.

La propriété dit seulement que « pour tout a > 0, ln(a²) = 2 ln(a) » Et que se passe-t-il pour les quantités négatives ?

Par exemple, pour a et b négatifs, ln(ab) = ln |a| + ln |b| puisque ab = |a||b| donc la propriété ci-dessus s’applique.

Ainsi, pour tout x différent de -1, ^ln

( (

^x+1

)

²

)

^{=2 ln x+1.}

Exercices II-3.

Exprimer en fonction de ln(3) et ln(2) les nombres suivants :

A = ln(6) ; B = ln(9) ; C = ln(2/3) ; D = ln(1/12) ; E = ln 2 ; F = ln 12

III - Etude de la fonction ln

Théorème III-1.

La fonction logarithme népérien est dérivable sur ℝ^*₊ et on a

(

^{ln( ) 'x}

)

⁼¹_x^.

Indication :

1. Revenir à la définition de nombre dérivé.

2. Poser ln x = y, ln x0 = y0 et utiliser la dérivabilité de la fonction exponentielle.

Propriété III-2.

La fonction ln est continue de ]0 ; +∞[ sur IR.

Propriété III-3.

La fonction ln est strictement croissante de ]0 ; +∞[ sur IR.

Propriété III-4.

x→lim+∞ ln x = +∞ et lim

x→0 ln x = −∞. Indication :

1. Reprendre la définition de fonction qui tend vers l’infini en l’infini.

2. Utiliser le résultat précédent.

Propriété III-5.

Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions exponentielles et ln sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.

Indication :

1. Rappeler à quel(les) condition(s) géométriques M et M’ sont symétriques par rapport à la droite D.

2. Démontrer que M(x,y) et M’(y,x) sont symétriques par rapport à D : y = x.

IV – Autres résultats classiques Propriété IV-1.

Soit u une fonction dérivable sur I, à valeurs strictement positives.

Alors ln(u) est dérivable et on a

( )

^{lnu '=u}_u^'.

Exercice IV-2.

Dériver f(x) = ln(x² − 4) sur le domaine approprié.

Propriété IV-3.

(1) ln( )

lim 0

x

x

→+∞ x = : autrement dit, la fonction x tend plus vite vers l’infini que la fonction ln.

(2)

0

lim ln( ) 0

x

x x

→ = : autrement dit, la fonction x tend plus vite vers 0 que la fonction ln ne tend vers l’infini.

(3)

0

ln(1 )

lim 1

x

x

→ x

+ = : autrement dit, ln(1+x) et x ont le même comportement prés de 0.

Indication :

(1)-(2) Revenir à des résultats sur l’exponentielle à l’aide d’un changement de variable adapté.

(3) classique !

2 3 4

-1 -2 -3

2 3

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x y

y = ln(x) y = x

y = e

^x

V – Logarithme de base a, a > 0 Définition.

1. Soit ^a∈ℝ*−

{ }

¹ . On appelle logarithme de base a, la fonction

( ) ( )

ln ( ) ln

a ln x x

= a ^.

2. Le logarithme décimal est le logarithme de base 10, noté en général log :

( ) ( )

log( ) ln ln 10 x = x ^.

Le logarithme décimal est particulièrement utile pour gérer les puissances de 10.

On retiendra les propriétés suivantes :

→ log 1 = 0,

→ log 10 = 1

→ log (10ⁿ) = n

→ log(ab) = log(a) + log(b) pour a > 0 et b > 0 ….

Et par conséquent, pH = −log[H O₃ ⁺]⇔log[H O₃ ⁺]= −pH ⇔[H O₃ ⁺] 10= ^−pH.

CHAPITRE VI

La fonction logarithme népérien.

Position du problème Corrigé Exercice 0-0

→ La fonction exponentielle est continue sur IR, strictement croissante.

Elle passe d’une valeur inférieure à 3 (puisque lim ^x 0

x e

→−∞ = ) à une valeur supérieure à 3 (puisque lim ^x

x e

→+∞ = +∞). D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation e^x=3 admet une unique solution α ^{sur IR.}

→ A l’aide du tableau de valeur de la calculatrice, une valeur approchée au dixième est α ≃1.1_.

→ Nous noterons ce nombre α =ln 3, la solution de e^x =3.

Notion de bijection – fonction réciproque Corrigé Exercice 0-1

1. On pourrait encore appliquer le TVI mais la résolution est

ici directe : 3

( ) 2 3

2 f x = ⇔m x− = ⇔ =m x m+ .

Ainsi 2 3

( ) 2

g m = m+ est l’antécédent de m par f.

2. Ainsi par définition, fg m( )=m_.

Calculons ( ) 3 2 3 3

( ) ( ( ))

2 2

f x x

gf x =g f x = + = − + =x_.

Graphiquement nous pouvons interpréter ces deux points :

(1) pour calculer fg m( )=m_cad ^{f g m}

(

^{( )}

)

^,

on part de g(m) sur l’axe des abscisses, on applique f : donc on retombe sur m en ordonnée ! Donc f g m( )=m_.

(2) pour calculer gf x( )_cad ^{g f x}

(

^{( )}

)

, on part de f(x) sur l’axe des ordonnées, on applique g : donc on retombe l’antécédent x en abscisse ! Donc gf x( )=x_.

→ On dit alors que la fonction 2 3

( ) 2

g x = x+ est la bijection réciproque de la fonction

( ) 2 3

f x = x− sur IR.

3. On constate que Cf et Cg sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

2 -1

-2

2 3

-1

0 1

1

x y

m

2 3

g(m)

2 3

-1

0 1

1

x y

m

g(m) x

f(x)

0 1

1

x y

g f

Corrigé Exercice 0-2

1. Bien sûr que non ! Par exemple, -1 n’a aucun antécédent par la fonction carrée.

2. Par contre sur I =ℝ⁺, la fonction carrée est continue, strictement croissante. Elle va de 0 à +∞

donc d’après le TVI, l’équation x² = m admet unique antécédent (lui aussi dans I).

Cet antécédent est depuis le collège noté m.

3. Notons donc g m( )= m : on retrouve graphiquement par exemple, les relations f g m( )=m _et ( )

gf x , pour tout x et m positifs.

→ On dit alors que la fonction g x( )= x est la bijection réciproque de la fonction f x( )=x² sur IR+.

4. Encore une fois, courbe et courbe « réciproque » sont symétriques par rapport à D : y =x.

I – Une définition de la fonction logarithme népérien.

Premières propriétés Démonstration I-1.

(1) Reprenons le graphique ci-contre (ou la définition par le TVI) : le domaine de définition est le domaine d’arrivé de la fonction exp, donc

*

ℝ+_.

Le domaine d’arrivé de la fonction ln est le domaine de définition de la fonction exp, donc IR.

La fonction ln est définie sur ℝ^*₊, et elle est à valeurs dans IR : cad : ln : ]0 ; +∞[ −−−→ IR . Remarque : d’après 1 et 2, ln est la bijection réciproque de la fonction exp.

(2) Pour tout x > 0, e^ln(x) = x : en effet, par définition, ln(x) est la solution de e^a = x d’inconnue a pour pour a = ln(x), on a le résultat voulu.

(3) De même, ln(e^x) est la solution de l’équation e^a = e^x, donc d’après les propriétés de la fonction exp, a = x.

Ainsi, pour tout réel x, ln(e^x) = x.

2 2

0 1

1

x y

-1

-2 0 1

1

x y

y

ln(y)

(4) ln(1) est l’antécédent de 1 par l’exponentielle donc ln(1) = 0.

De même ln(e), est l’antécédent de e par l’exponentielle donc ln(e) = 1.

Corrigé I-2.

On a ln a < ln b ⇒ e^lna < e^lnb car exp est croissante

⇒ a < b par définition de ln Corrigé I-3.

Soient a > 0, b > 0 : ln a = ln b ⇔ e^lna = e^{lnb (}d’après les propriétés sur l’exponentielle)

⇔ a = b par définition de ln

Corrigé I-4.

En effet, ln(x) ≥0 ⇔ ^ln(x) ≥ ^ln(1) ⇔ ^{eln( )x} ≥^eln(1) par monotonie de la fonction exp ⇔ ≥x 1 ^{puisque eln( )a} =^a.

On obtient l’autre cas par équivalence.

Corrigé I-5.

1. f est définie quand x²> 0 ⇔ x ≠ 0 donc D_f = IR *.

g est définie quand 6−x > 0 ⇔ x < 6 donc Dg = ]−∞ ;6[.

2. Le domaine approprié est l’intersection de D_f et D_g , cad]−∞ ;6[ \{0}.

Sur ce domaine D : f(x) = g(x) ⇔ x² = 6−x ⇔ x²+ x − 6 = 0 ⇔ x = 2 ou x = −3 donc S = {2 ; −3}, qui est bien inclus dans D.

3. g(x) ≥ 0 ⇔ ln(6−x) ≥ ln 1 ⇔ 6−x ≥ 1 ⇔ x ≤ 5

4. f(x) < 0 ⇔ ln(x²) < ln 1 ⇔ x²< 1 ⇔ x²− 1 < 0 ⇔ x ∈ ]−1 ; 1[

Corrigé I-6.

1. Remarquons déjà que x doit être strictement positif.

Posons X = ln(x) :

(ln x)²− ln x − 6 = 0 ⇔ X² − X − 6 = 0 ⇔ X = 3 ou X = -2 d’après les résultats sur les trinômes.

⇔ ln x = 3 ou ln x = −2 ⇔ x = e³ ou x = e⁻² qui sont bien des éléments du domaine.

2. (ln x)²− ln x − 6 ≤ 0 ⇔ X² - X – 6 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ X ≤ 3 (signe d’un trinôme)

⇔ −2 ≤ ln x ≤ 3 puisque X = ln(x)

⇔ e⁻² ≤ x ≤ e³ par croissance de la fonction exp.

II - Propriétés de la fonction ln Démonstration II-1.

Soit A=ln (ab) et B=ln a +ln b :

e^A = ab par définition de ln et e^{ln a+ln b}=e^ln(a)e^ln(b)=ab d’après les propriétés sur l’exponentielle.

Ainsi e^A=e^B SSI A=B d’où le résultat.

Démonstration II-2.

(1) On a ln(a²) = ln(a × a) = ln(a) + ln(a) = 2ln(a) qui est bien définie pour a > 0.

(2) Une démonstration par récurrence s’impose… : soit P(n) la proposition « ln(aⁿ)= n.ln(a) ».

→ln(a⁰) = ln(1) = 0 donc P(0) est vraie.

→supposons P(n) vraie : ^ln

( ) (

^{an+1 =ln an× =a}

) ( )

^{ln an +ln}

^{( )}

^{a =nln}

^{( )}

^{a +ln}

^{( ) (}

^{a = n+1 ln}

^{) ( )}

^a donc P(n+1) est vraie.

→ainsi, pour tout n, ln(aⁿ)= n.ln(a).

(3) (1/a) × a = 1 donc ln[a(1/a)] = ln(a) + ln(1/a) = 0 et on obtient ln( 1

a ) = − ln(a).

(4) De même, a

b = a × 1 b

donc 1 1

ln( )a ln ln( ) ln( ) ln( ) ln( )

a a a b

b b b

 

=  × = + = −

  ^.

(5) ln[( a)²]= ln(a). Comme ln[( a)²]= 2 ln( a), on obtient le résultat voulu.

(6) Pour tout entier naturel n, ln(a⁻ⁿ) = ln(1/aⁿ) = −ln(aⁿ)= −n.ln(a)

(7) Soit p

n= q un rationnel et a > 0 : posons

p

b=aq.

On a donc

p q

q q q p

b a b a

 

=  ⇔ =

 

d’où ^ln

( ) ( )

^{bq =ln ap ⇔qln( )b =pln( )a ⇔lnb=} _q^pln

^{( )}

^{a .}

On a donc prouvé que ln(aⁿ)= n.ln(a), avec p n= q .

Corrigé II-3.

A = ln(6) =^{ln 2 3}

(

× =

)

ln(2) ln(3)+ . B = ln(9) ^{=ln 3}

( )

^{2 =2 ln(3).}

C = ln(2/3) =ln(2) ln(3)− .

D = ln(1/12) = −^{ln 12}

( )

= −^ln(22× = −^{3) ln 2}

( )

² −^{ln 3}

( )

= −2 ln(2) ln(3)− . E = ln 2

1

2 1

ln 2 ln(2) 2

 

=  =

  .

F = ln 12 ¹₂ ¹

( )

¹

( )

^{ln 3}

( )

ln 12 ln 12 ln 2

2 2^D 2

 

=  = = − = +

  .

III - Etude de la fonction ln Démonstration III-1.

Soit x0 ∈ ]0 ;+∞[, on cherche f’(x0) (et à prouver qu’il existe) c’est à dire limx→x0

ln x - ln x₀ x - x₀ . Posons ln x = y (donc x = e^y) et ln x₀ = y₀ (donc x₀ = e^yo).

→ Quand x → x0, e^X → e^X0 car la fonction exp est continue.

→ Par conséquent, y → y0 et on a : limx→x0

ln x - ln x₀ x - x₀ =

0 0

lim _y 0_y y y

y y e e

→

−

− .

→ Or

0 0

lim _y 0_y y y

y y e e

→

−

− = ^{0 0}

0 0

0

lim exp'( )

y y

y y y

e e

y e

y y

→

− = =

− donc lim

x→x₀

ln x - ln x₀ x - x₀ =

0 0

lim _y 0_y y y

y y e e

→

−

− =

0

1 ey = 1

x₀ (x₀> 0 donc non nul).

La définition de nombre dérivé est vérifiée et on a 1 ln'( )x

= x.

Démonstration III-2.

Ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ donc continue sur ]0 ; +∞[ ! Démonstration III-3.

Sur ] 0 ; +∞[, 1 ln'( )x

= x > 0 donc ln est strictement croissante (déjà vu d’une autre façon, propriété I-2).

Démonstration III-4.

(1) La fonction ln tend vers +∞ en +∞ si :

∀A∈IR⁺, il existe un rang M, tel que pour x > M, ln x > A.

Mais ln x > A ⇔ x > e^A donc, en posant M = e^A, on obtient que ∀A∈IR⁺, dès que x > M, ln x > A.

donc …

(2) on pose X = 1/x, quand x → 0⁺, X → +∞, donc limx→0 ln x = limx→+^∞ln(1/X) = limx→+^∞- ln X = - ∞.

Démonstration III-5.

→ 1. Rappelons que M et M’ sont symétriques par rapport à la droite d si, par exemple, (MM') D

I D

⊥



∈

 où I est le milieu du segment [MM’].

→ 2. Démontrons que M(x,y) et M’(y,x) sont symétriques par rapport à D : y = x : En effet, le milieu I de [MM’] a pour coordonnées ;

2 2

x y x y I + + 

 

  donc il est bien sur la droite d’équation y = x.

Ensuite, D est dirigée par 1 u 1

  

, (MM’) par MM' ^{y x} x y

−

 

 

−

 

donc MM u'. =0 et les droites sont bien perpendiculaires.

→ Prouvons maintenant que C_exp et C_ln sont symétriques par rapport à D.

M(x,y) est sur C_exp SSI y= e^x SSI x=ln y (par définition de ln) SSI M’(y,x) est sur C_ln.

M et M’ sont donc bien symétriques par rapport à D : y=x.

2 3 4

-1 -2 -3

2 3

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x y

y = ln(x) y = x

y = e

^x

IV – Autres résultats classiques

Démonstration IV-1.

Soit u une fonction dérivable sur I, à valeurs strictement positives et ^{f x( )=ln}

(

^{u x( )}

)

^.

Les résultats de composition nous permettent d’affirmer que f est dérivable et la formule de la composée donne : (ln o u)’ = (ln’ o u) × u’ = u’/u donc f’(x) = u’(x)/u(x).

Corrigé IV-2.

On a D_f = ]−∞ ;−2[ ∪ ]2 ;+∞[, st sur D, f’(x) = 2x/(x²−4).

Corrigé IV-3.

(1) On pose x = e^y donc y = ln x et quand x → +∞, y → +∞.

On a alors (ln x)/x = y/e^y quand y → +∞, nous savons que e^y /y → +∞ donc y/e^y → 0, d’où le résultat.

(2) On pose x = e^y donc y = ln x et quand x → 0, y → −∞.

On a alors x lnx = y e^y et il est connue que quand y → −∞, y e^y → 0, d’où le résultat.

(3) Soit f(x) = ln(1+x), définie et dérivable sur ]−1 ;+∞[.

On a alors lim x→0

f(x) - f(0) x - 0 =

0

ln(1 )

lim 1

x

x

→ x

+ = = f’(0) avec f’(x) = 1/(1+x) donc f’(0) = 1.