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Logarithme népérien
Pour reprendre contact no2 à 5 p 197
I. Définition et courbe de la fonction logarithme népérien Propriété 1 et définition
Pour tout réelb strictement positif, l’équationea =b, à l’inconnue a, admet une unique solution notée lnb.
La fonction définie sur ]0;+∞[, qui à tout réelx >0 associe lnx est appeléefonction logarithme népérienet notée ln.
Démonstration
Elle découle du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
Exemples
Remarque
On dit que la fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réci- proques l’une de l’autre. On en déduit comme conséquences immédiates :
Propriétés 2
4Pour tout réely>0,ex=y ⇐⇒ x=lny
4ln 1=0etlne=1
4Pour tout réelx>0,elnx=x
4Pour tout réel y,ln(ey)=y
4Pour touta>0 etb>0,lna=lnb ⇐⇒ elna=elnb ⇐⇒ a=b Propriétés 3
Dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction ln est la symétrique de la courbe représentative de la fonction exp par rapport à la droite d’équationy=x.
Exercices no7(a,c,e) - 8 - 9(a,c) - 10 - 11(a) – 12 – 13 – 14 p 211
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II. Relations fonctionnelles du logarithme népérien Propriétés 4
Pour tous réelsx>0 ety>0,
4ln(x y)=lnx+lny 4ln³1 x
´
= −lnx 4ln³x y
´
=lnx−lny.
4Pour tout entier relatifpln(xp)=plnx. 4ln¡p x¢
=1 2lnx.
Démonstration
4elnx+lny=elnxelny=x yeteln(x y)=x y doncln(x y)=lnx+lny
4ln³ x1
x
´
=lnx+ln1
x.D’autre part, ln³ x1
x
´
=ln 1=0.Doncln³1 x
´
= −lnx.
4ln³x y
´
=ln³ x1
y
´
=lnx+ln³1 y
´
=lnx−lny.
4eln(xp)=xp eteplnx=
³ elnx´p
=xp.Donceln(xp)=eplnx.Par conséquent, ln(xp)=plnx.
42 ln(p
x)=ln¡p x2¢
=lnxd’après la propriété précédente.Donclnp x=1
2lnx.
Exercices no15 - 16 - 17 - 18 - 19 - 20 - 21 - 22 - 23 p 211 Exercices no25 - 26 - 27 p 212
III. Propriétés de la fonction logarithme népérien Propriété 5
La fonction ln estdérivable sur]0;+∞[etln0(x)=1
x pour toutx>0.
Démonstration
On admet que ln est dérivable surR. Soitf la fonction définie sur ]0;+∞[ parf(x)=elnx=x.
Alorsf0(x)=ln0(x)×elnx=ln0(x)×xd’une part etf0(x)=1 d’autre part. D’où ln0(x)=1/x.
RemarqueOn a en particulier ln0(1)=1. La tangente à la courbe représentative dey=lnxau point A(1; 0) a pour coefficient directeur 1 et pour équationy=x−1.
Propriété 6
xlim→0
ln(x+1)
x =ln0(1)=1 Propriété 7
4La fonction logarithme népérien eststrictement croissante sur]0;+∞[.
4lim
x→0lnx= −∞et lim
x→+∞lnx= +∞.
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Démonstration
4Pour toutx>0, ln0(x)>0 donc ln est strictement croissante sur ]0;+∞[.
4Limite en+∞: soitAun réel. Alors lnx>Apour toutx>eA. Donc lim
x→+∞lnx= +∞.
4Limite en 0 :xtend vers 0 avecx>0.
On poseX=1
x doncx= 1
X d’où lnx=ln³1 X
´
= −lnXoùXtend vers+∞. De lim
X→+∞lnX= +∞, on en déduit par composition des limites que lim
x→0lnx= −∞. Propriété 8 : Croissances comparées
xlim→+∞
lnx
x =0 lim
x→0xlnx=0 Démonstration
4 Limite en+∞delnx
x : On poseX=lnx. On a alorsx=eX etlnx x = X
eX =X e−X oùXtend vers+∞. On sait que lim
X→+∞X e−X =0, donc par composition des limites, lim
x→+∞
lnx x =0.
4 Limite en 0 dexlnx: On poseX=1
x. Alorsxlnx= 1 Xln³1
X
´
= −lnX
X oùX tend vers+∞.
De lim
X→+∞
lnX
X =0, on en déduit par composition des limites, lim
x→0xlnx=0.
Propriété 9 (admise)
Si u est une fonction dérivable et u >0 sur un intervalle I, alors la fonction g : x7→ ln[(u(x)] est dérivable sur I etg0(x)=u0(x)
u(x).
Exercices no 28 - 29 - 30 - 31 - 32 - 33 34 - 35 p 213 Exercices no 36 - 37 - 38 - 39 - 40 - 41 - 42 - 43 - 44 p 213 - 214
Exercices no 45 - 46 - 47 - 48 - 49 - 50 - 51 - 52 - 53 - 54 - 55 p 214 - 215
Exercices no56 - 57 - 58 - 59 - 60 - 61 - 62 - 63 - 64 - 65 - 66 - 68 - 69 - 70 - 71 - 72 - 74 - 75 p 215 - 216
Approfondissement no102 - 103 - 104 - 105 - 106 - 111 - 112 - 113 - 116 p 220 - 221 Problèmes no120 - 122 p 222
IV. La fonction logarithme décimal Définition 2
La fonctionlogarithme décimal, notée log, est définie sur ]0;+∞[ parlogx= lnx ln 10 Remarques
4ln 10>0 donc le nombrek= 1
ln 10 est strictement positif, comme logx=klnxla fonction log a le même sens de variation que la fonction ln.
4Elle transforme, comme la fonction ln , les produits en sommes.
4log 10=1, log 102=2, . . ., log 10n=npour toutnentier relatif.
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