LOGARITHME Népérien

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Chap.13 :

LOGARITHME Népérien

Partie 1 : définition de la fonction logarithme népérien

Propriété : lien avec l’exponentielle.

Pour tout nombre réel 𝑘 ∈ ]0 ; +∞[, l’équation 𝑒⁺ = 𝑘 admet une unique solution dans ℝ.

Démonstration : on considère un nombre réel 𝑘 strictement positif.

• La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ donc elle est continue sur ℝ.

• De plus, elle est strictement croissante sur ℝ.

• lim

+→23𝑒⁺ = 0, lim

+→43𝑒⁺ = +∞ et 𝑘 ∈ ]0 ; +∞[.

D’après le théorème de la bijection, l’équation 𝑒⁺ = 𝑘 admet donc une unique solution dans ℝ.

Définition : logarithme népérien

On appelle fonction logarithme népérien, notée ln, la fonction définie sur ]0 ; +∞[ qui, à tout nombre réel 𝑥 strictement positif, associe l’unique solution réelle de l’équation 𝑒⁶ = 𝑥, d’inconnue 𝑦. On a ainsi 𝑦 = ln(𝑥).

Remarques :

Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté, ln(𝑥) se note plus simplement ln 𝑥.

La fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ; +∞[, elle n’est donc définie que pour des valeurs strictement positives mais elle est à valeurs positives ou négatives.

Une valeur approchée du logarithme népérien d’un nombre réel strictement positif peut s’obtenir à la calculatrice avec la touche (TI), la touche (CASIO) ou la touche (NUMWORKS).

Propriété : premières propriétés

● Pour tout nombre réel 𝑥 strictement positif, 𝑒^{;< +}= 𝑥.

● Pour tout nombre réel 𝑥, ln 𝑒⁺ = 𝑥.

● ln 1 = 0 ● ln 𝑒 = 1 ● ln^>_?= −1.

Démonstration : on utilise la définition précédente pour démontrer chaque point.

• La fonction logarithme népérien est la fonction qui, à tout nombre réel 𝑥 strictement positif, associe l’unique solution réelle de l’équation 𝑒⁶ = 𝑥, d’inconnue 𝑦 et ainsi, 𝑦 = ln 𝑥.

On en déduit que, pour tout nombre réel 𝑥 strictement positif, 𝑒^{;< +} = 𝑥.

• Pour tout nombre réel 𝑦, 𝑥 = 𝑒⁶ et donc 𝑦 = ln 𝑥 = ln 𝑒⁶.

• 𝑒^A = 1 donc ln 1 = 0.

• 𝑒^> = 𝑒 donc ln 𝑒 = 1.

• 𝑒^2> =^>_? donc ln^>_?= ln 𝑒^2> = −1.

Exemples : 𝑒^{;< B} = 5, ln 𝑒^D = 2, ln 𝑒^2F = −3

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Méthode : application à la résolution d’équations Résoudre dans ℝ les équations suivantes :

• ln 𝑥 = −2 ● 5 − ln 3𝑥 = 3 ● 15 − 7𝑒⁺ = 0

……… ……… ………

Propriété : Courbe représentative

Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions logarithme népérien et exponentielle sont symétrique par rapport à la droite d’équation 𝑦 = 𝑥.

Démonstration : on admettra cette propriété.

Remarques :

1) La première définition permet d’affirmer que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont des fonctions dites réciproques (au même titre que la fonction carré et la fonction racine carrée par exemple).

2) Dans un repère orthonormé, leur courbes représentatives de deux fonctions réciproques sont symétrique par rapport à la droite d’équation 𝑦 = 𝑥 appelée première bissectrice du repère.

Illustration :

𝑂 1

1

𝑦 𝑦

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Partie 2 : sens de variations et conséquences

Propriété : sens de variations de ln

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.

Démonstration : on considère deux nombres réels strictement positifs 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑎 < 𝑏.

𝑎 < 𝑏 est équivalent à 𝑒^{;< M} < 𝑒^{;< N} et comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ, ln 𝑎 < ln 𝑏.

On en déduit que la fonction logarithme népérien est bien strictement croissante sur ]0 ; +∞[.

Comme la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ et que ln 1 = 0 :

• Si 0 < 𝑥 < 1 alors ln 𝑥 < ln 1 soit ln 𝑥 < 0

• Si 𝑥 > 1 alors ln 𝑥 > ln 1 soit ln 𝑥 > 0.

On en déduit le tableau de signe de la fonction logarithme népérien sur ]0 ; +∞[ :

𝑥 0 +∞

Signe de ln 𝑥

Propriété : équations et inéquations

Pour tous nombres réels 𝑥 et 𝑦 strictement positifs : ● ln 𝑥 = ln 𝑦 ⇔ 𝑥 = 𝑦

● ln 𝑥 < ln 𝑦 ⇔ 𝑥 < 𝑦

Démonstration : ces propriétés se déduisent de la stricte croissance de la fonction ln sur ]0 ; +∞[.

Remarque : on a aussi ln 𝑥 > ln 𝑦 ⇔ 𝑥 > 𝑦, ln 𝑥 < ln 𝑦 ⇔ 𝑥 < 𝑦 et ln 𝑥 > ln 𝑦 ⇔ 𝑥 > 𝑦.

Exemples : résoudre dans ℝ les équations suivantes.

1. ln(𝑥 + 3) = ln 5 2. ln(6 − 2𝑥) ≥ ln 𝑥

……… ………

3. 𝑒^B+ ≤ 2 4. ln(3𝑥 + 1) > 3

……… ………

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Partie 3 : propriétés du logarithme népérien

Les logarithmes sont apparus à une époque où les calculatrices n’existaient pas et le calcul numérique était fastidieux.

« L’invention des logarithmes, en réduisant le temps passé aux calculs de quelques mois à quelques jours, double pour ainsi dire la vie des astronomes » (Laplace) La fin du XVI^ème siècle est l’époque des grands voyages maritimes et de la découverte des lois régissant le mouvement des planètes (Copernic, Kepler…). Les mesures astronomiques, nécessaires pour la navigation, impliquent des calculs compliqués.

Les multiplications, divisions et extractions de racines sont particulièrement longues et pénibles. Pour simplifier ces calculs, on cherche à construire des tables numériques à deux colonnes, mettant en correspondance les nombres de telle manière qu’à la multiplication de deux nombres de la colonne de gauche corresponde l’addition de deux nombres de la colonne de droite.

La première table de ce type, dont on donne un extrait ci-contre est publiée par l’Écossais John Neper en 1614, après 40 ans de travail. Les astronomes furent évidemment ravis de cette découverte et Kepler salua l’œuvre de Neper en 1624 :

« Je résous la question par le bienfait des logarithmes.

Je ne pense pas que quelque chose soit supérieur à la théorie de Neper… »

Propriété : somme et produit

Quels que soient les nombres réels 𝑎 et 𝑏 strictement positifs, ln(𝑎 × 𝑏) = ln 𝑎 + ln 𝑏.

Démonstration : on considère deux nombres réels 𝑎 et 𝑏 strictement positifs.

𝑒^;<(M×N)= 𝑎 × 𝑏 = 𝑒^{;< M} × 𝑒^{;< N} = 𝑒;< M4;< N

Comme 𝑒^;<(M×N) = 𝑒;< M4;< N, ln(𝑎 × 𝑏) = ln 𝑎 + ln 𝑏.

Remarques : ● La fonction logarithme népérien transforme les produits en sommes.

● Cette formule se généralise à un produit de plusieurs facteurs.

Pierre-Simon Laplace 1749 – 1827

0,1 −2,30259 0,5 −0,69315

1 0

1,5 0,40546 2 0,69315 3 1,09861 4 1,38629 5 1,60944 6 1,79176 7 1,94591 8 2,07944 9 2,19722 10 2,30259 11 2,39790 12 2,48491 13 2,56495 14 2,63906 15 2,70805 16 2,77259 17 2,83321 18 2,89037 John Napier (Neper)

1550 – 1617 Johannes Kepler 1571 – 1630

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Exemples : ln 10 = ln(2 × 5) = ln 2 + ln 5

ln 12 = ln(2 × 2 × 3) = ln 2 + ln 2 + ln 3 = 2 ln 2 + ln 3

Pour tout nombre réel 𝑥 strictement positif, ln 3𝑥 = ln(3 × 𝑥) = ln 3 + ln 𝑥 Propriété : différence et quotient

Quels que soient les nombres réels 𝑎 et 𝑏 strictement positifs,

ln_M^>= − ln 𝑎 et ln^M_N= ln 𝑎 − ln 𝑏.

Démonstration : on considère deux nombres réels 𝑎 et 𝑏 strictement positifs.

ln 1 = ln U𝑎 ×_M^>V = ln 𝑎 + ln^>_M donc ln^>_M= ln 1 − ln 𝑎 = 0 − ln 𝑎 = − ln 𝑎 ln^M_N= ln U𝑎 ×_N^>V = ln 𝑎 + ln_N^>= ln 𝑎 − ln 𝑏

Exemples : ln^>_D = − ln 2 ln^F_B= ln 3 − ln 5

Pour tout nombre réel 𝑥 strictement positif, ln_F+⁺_W_4>= ln 𝑥 − ln(3𝑥^D+ 1) Propriété : puissance et racine carrée

Quel que soit le nombre réel 𝑎 strictement positif et le nombre entier naturel 𝑛 : ln 𝑎^Y = 𝑛 ln 𝑎 et ln √𝑎 =^>_Dln 𝑎

Démonstration : on considère un nombre réel 𝑎 et un nombre entier naturel 𝑛.

D’une part, 𝑒^{;< M}^[ = 𝑎^Y et d’autre part 𝑒^{Y ;< M}= \𝑒^{;< M}]^Y = 𝑎^Y On en déduit que 𝑒^{;< M}^[ = 𝑒^{Y ;< M} et donc que ln 𝑎^Y = 𝑛 ln 𝑎.

D’une part, ln U√𝑎^DV = ln 𝑎 et d’autre part, ln U√𝑎^DV = 2 ln √𝑎.

On en déduit que 2 ln √𝑎 = ln 𝑎 et donc que ln √𝑎 =^>_Dln 𝑎 Remarque : pour tout nombre réel a positif, √𝑎 = 𝑎^{^}^W.

Exemples : exprimer les nombres suivants en fonction de ln 3.

● ln √27 = ………

● ln^>_{_}= ……….

● ln 63 − ln 7 = ………

● 4 ln 6 − ln 16 = ……….

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Partie 4 : étude de la fonction logarithme népérien

Propriété : fonction dérivée

La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +∞[ et pour tout nombre réel 𝑥 strictement positif, ln′(𝑥) =₊^>.

Démonstration : on admet que la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +∞[.

On appelle 𝑓 la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) = 𝑒^{;< +}.

𝑓 est la composée de la fonction exponentielle dérivable sur ℝ par la fonction logarithme népérien dérivable sur ]0 ; +∞[ donc elle est dérivable sur ]0 ; +∞[ et pour tout nombre réel 𝑥 strictement positif :

𝑓^c(𝑥) = 𝑒^{;< +}× ln′ 𝑥 = 𝑥 × ln′ 𝑥 ((𝑣 ∘ 𝑢)′ = (𝑣′ ∘ 𝑢) × 𝑢′)

Or, pour tout nombre réel 𝑥 strictement positif, 𝑓(𝑥) = 𝑒^{;< +}= 𝑥 donc 𝑓’(𝑥) = 1.

On en déduit que, pour tout nombre réel 𝑥 strictement positif, 𝑥 × ln′ 𝑥 = 1 soit ln′(𝑥) =^>₊.

Remarques :

a) La dérivée de la fonction logarithme népérien est la fonction inverse.

b) La fonction inverse étant à valeurs strictement positives sur ]0 ; +∞[, on retrouve que la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.

c) La fonction logarithme népérien étant dérivable sur ]0 ; +∞[, elle est continue sur ]0 ; +∞[.

Propriété : limites

+→43lim ln 𝑥 = +∞ lim

+→A+hA

ln 𝑥 = −∞.

Démonstration :

• Pour tout nombre réel 𝐴 strictement positif, ln 𝑥 > 𝐴 ⟺ 𝑒^{;< +}> 𝑒^k ⟺ 𝑥 > 𝑒^k.

Autrement dit, pour tout nombre réel 𝐴 strictement positif, il existe un nombre réel 𝑥A (ici 𝑥A = 𝑒^k), tel que pour tout nombre réel 𝑥, 𝑥 > 𝑥_A implique ln 𝑥 > 𝐴.

Cela signifie que lim

+→43ln 𝑥 = +∞

• Pour tout nombre réel strictement positif, ln 𝑥 = − ln^>₊. Or, lim _+→A

+hA

ln^>

+ = lim

l→43ln 𝑋 = +∞ donc lim _+→A

+hA

ln 𝑥 = lim

+→A+hA

U− ln^>

+V = −∞

Tableau de variations

𝑥 0 +∞

Variations de la fonction

logarithme népérien

𝑂 1

1

𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥

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Propriété : limites de référence ● lim

+→43

;< +

+ = 0⁴ ● lim _+→A

+hA

𝑥 ln 𝑥 = 0². Plus généralement, pour tout nombre entier naturel 𝑛 non nul.

● lim

+→43

;< +

+^[ = 0⁴ ● lim _+→A

+hA

𝑥^Yln 𝑥 = 0² Démonstration :

• lim

+→43

;< +

+ = lim

+→43

;< +

?^{op q} = lim

l→43 l

?^r = 0⁴. On considère un nombre entier naturel 𝑛 non nul.

Pour tout nombre réel 𝑥 strictement positif, ^{;< +}₊_[ =₊_[s^^> ×^{;< +}₊ . Or, lim

+→43

>

+^{[s^} = 0⁴ et lim

+→43

;< +

+ = 0⁴ donc d’après le tableau donnant la limite d’un produit de fonctions :

+→43lim 1

𝑥^Y2>×ln 𝑥

𝑥 = lim

+→43

ln 𝑥 𝑥^Y = 0⁴

• lim _+→A

+hA

𝑥 ln 𝑥 = lim _+→A

+hA

𝑒^{;< +}ln 𝑥 = lim

l→23𝑋𝑒^l = 0². On considère un nombre entier naturel 𝑛 non nul.

Pour tout nombre réel 𝑥 strictement positif, 𝑥^Yln 𝑥 = 𝑥^Y2>× 𝑥 ln 𝑥.

Or, lim _+→A

+hA

𝑥^Y2> = 0⁴ et lim _+→A

+hA

𝑥 ln 𝑥 = 0² donc d’après le tableau donnant la limite d’un produit de fonctions : lim +→A

+hA

𝑥^Y2>× 𝑥 ln 𝑥 = lim

+→A+hA

𝑥^Yln 𝑥 = 0²

Propriété : composition

On considère une fonction 𝑢 définie, dérivable et à valeurs strictement positives sur un intervalle 𝐼.

La fonction ln 𝑢 est alors dérivable sur 𝐼 et (ln 𝑢)′ =^uc_u.

Démonstration : ce résultat est une conséquence du théorème donnant la dérivée d’une fonction composée.

Exemples : donner l’expression des fonctions dérivées de chacune des fonctions suivantes.

1. 𝑓 définie sur v−^>_F; +∞w par 𝑓(𝑥) = ln(3𝑥 + 2)

………

2. 𝑔 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = ln(𝑥^D+ 2𝑥 + 4)

………

3. 𝑓 définie sur ]0 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) = 2 ln 𝑥 + 3 ln 2𝑥

………