LOGARITHME Népérien – Feuille d’exercices
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PROPRIETES ALGEBRIQUES DU LOGARITHME :
Exercice 1 : simplifier au maximum les expressions suivantes
1. 𝐴 = ln 𝑒& 5. 𝐸 = ln 𝑒&+ ln*)+ 9. 𝐼 =-.(√12))2-.(√14))
&
2. 𝐵 = ln √𝑒 6. 𝐹 = 2 ln 𝑒89+ :𝑒; -. &<& 10. 𝐽 = ln:2 + √3<1+ ln:2 − √3<1 3. 𝐶 = ln)* 7. 𝐺 = 𝑒-. &2-. ; + 3 ln:ln √𝑒< 11. 𝐾 = ln)&+ ln&;+ ⋯ + lnDEDD+ ln)FFDD 4. 𝐷 = 2 ln 𝑒;
8. 𝐻 = 2 ln(3𝑒I) − 3 ln(𝑒4J) − 2 ln √3 12. 𝐿 = ln:3 + 2√2< + ln:3 − 2√2<
Exercice A : ln et simplification d’écritures
Lorsque cela est possible, exprimer les nombres suivants en fonction de ln 2, ln 3 et ln 5.
1) ln 15 3) ln 432 5) ln)FE)D& 7) ln 120
2) ln 18 4) ln √24 6) ln 24 8) ln&Q)F
Exercice 2 : lorsque cela est possible, exprimer les nombres suivants en fonction de ln 2, ln 3 et ln 5.
1. ln 27 3. ln)D 5. ln)&E&J;
2. ln 81 4. ln √754 6. -. I4-. &
-. )I
Exercice 3 : résoudre dans ℝ les équations et inéquations données ci-dessous.
1. ln 𝑥 = −1 3. 2 ln 𝑥 = 1 5. 3 + ln 𝑥 ≤ 7 7. (ln 𝑥)&− 3 ln 𝑥 − 4 = 0 2. ln 𝑥 = 3 4. ln 𝑥 ≤ 2
6. 1 − ln 𝑥 > 0 Exercice B : résolution d’équations et d’inéquations avec 𝒍𝒏 Résoudre dans ℝ les équations et inéquations suivantes :
1) ln(𝑥 + 2) = ln(𝑥 − 5) 4) ln(5 − 2𝑥) ≤ ln(𝑥 + 3) 2) ln(2𝑥 − 3) = 0 5) ln(𝑥 + 4) = 2 ln(𝑥 + 2) 3) (2𝑥 + 7) ln(𝑥&− 3) = 0
Exercice 4 : déterminer tous les nombres entiers naturels 𝑛 tels que 1 − ZQE[\ ! 0,999.
Exercice 5 : résoudre dans ℝ les équations et inéquations suivantes : 1. ln(𝑥 + 3) + ln(𝑥 + 2) = ln(𝑥 + 11)
2. ln(3𝑥&− 5𝑥) = ln 𝑥 + ln 2 3. 2(ln 𝑥)&− 3 ln 𝑥 − 5 " 0
On pensera à vérifier graphiquement les résultats à l’aide d’une calculatrice.
CALCUL DE DERIVEES :
Exercice 6 : déterminer sur quel(s) intervalle(s) la fonction donnée est dérivable et calculer sa dérivée.
1. 𝑓: 𝑥 ⟼ 𝑒bln 𝑥 3. ℎ: 𝑥 ⟼ lnb;b4J92) 2. 𝑔: 𝑥 ⟼ ln(2𝑥 + 7) 4. 𝑖: 𝑥 ⟼-. bb
Exercice 7 : déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes : 1. 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = ln 𝑥. 3. ℎ définie par ℎ(𝑥) = ln(2 − 𝑥). 2. 𝑔 définie par 𝑔(𝑥) = ln(3𝑥 + 5). 4. 𝑘 définie par 𝑘(𝑥) =-.(Q4;b)b .
Exercice 8 : dans chacun des cas suivants, déterminer l’expression de la fonction dérivée de la fonction 𝑓 définie et dérivable sur ]0 ; +∞[ pour laquelle on donne une expression.
1. 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 + 2𝑥 − 1 4. 𝑓(𝑥) = 𝑒4b− ln 𝑥 − 6𝑥1 7. 𝑓(𝑥) =)4-. bb 2. 𝑓(𝑥) = 3 ln 𝑥 5. 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln 𝑥 8. 𝑓(𝑥) = (ln 𝑥)1 3. 𝑓(𝑥) = 2𝑥;+ 5 + 𝑥 − 4 ln 𝑥
Exercice 9 : dans chacun des cas suivants, étudier les variations de la fonction 𝑓 définie et dérivable sur ]0 ; +∞[ pour laquelle on donne une expression.
1. 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 1 + ln 𝑥 4. 𝑓(𝑥) = 𝑥&+ 3 − 2 ln 𝑥 5. 𝑓(𝑥) =-. bb +b9&b4) 2. 𝑓(𝑥) = 3𝑥&− 6 ln 𝑥 + 6 5. 𝑓(𝑥) = 4 ln 𝑥 +b)
Exercice 10 : dans chacun des cas suivants, déterminer l’expression de la fonction dérivée de la fonction 𝑓 pour laquelle on donne une expression.
1. 𝑓(𝑥) = ln(4 − 3𝑥&) 2. 𝑓(𝑥) = 3 ln 3𝑥 − 5 ln 𝑥
DETERMINATION DE LIMITES :
Exercice 11 : déterminer les limites suivantes.
1. lim
b→2p(ln 𝑥 − 𝑥) 2. limb→F
bqF
Zln 𝑥 −b)9[ 3. lim
b→2p -. b
b 4. lim
b→2∞
-. b2&
-. b4)
Exercice 12 : dans chacun des cas suivants, déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction 𝑓.
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 2. 𝑓(𝑥) =-. bb9 3. 𝑓(𝑥) =-. b4bb
ÉTUDE DE FONCTIONS :
Exercice C : carte d’identité de 𝒙 ⟼𝐥𝐧(𝒙)𝒙 Étude complète de la fonction :
𝑥 ⟼ ln(𝑥) 𝑥
Exercice 13 :
A. Soit 𝑔 la fonction définie sur ]0; +∞[ par 𝑔(𝑥) =&b2)b2) − ln 𝑥.
1. Étudier les variations de 𝑔.
2. a) Montrer que l'équation 𝑔(𝑥) = 0 admet une solution unique 𝛼 dans ]0; +∞[.
b) Donner un encadrement de 𝛼 d'amplitude 104&. 3. Déterminer le signe de 𝑔(𝑥) sur ]0; +∞[.
B. Soit 𝑓 la fonction définie sur ]0; +∞[ par 𝑓(𝑥) =b& -. b92b.
1. Étudier les limites de 𝑓 en 0 et en +∞. Interpréter graphiquement ces limites.
2. a) Calculer la dérivée de 𝑓 sur ]0; +∞[. Exprimer 𝑓′(𝑥) en fonction de 𝑔(𝑥).
b) En déduire les variations de 𝑓 sur ]0; +∞[.
c) Montrer que 𝑓(𝛼) =w(&w2))& . En déduire un encadrement de 𝑓(𝛼) d'amplitude104&. d) Dresser le tableau de variation de 𝑓.
3. Construire 𝐶x la représentation graphique de 𝑓 dans un repère orthogonal (𝑂; 𝚤⃗, 𝚥⃗) d’unités graphiques 2 cm en abscisses et 4 cm en ordonnées.
Exercice 14 : on considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle ] − 1; +∞[ par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 + 3 ln(2𝑥 + 2) où 𝑎 et 𝑏 désignent deux nombres réels que l’on déterminera à la question 3.
On appelle 𝐶x la courbe représentative de la fonction 𝑓 dans un repère orthonormé.
La figure ci-dessous représente une partie de cette courbe donnée par une calculatrice graphique.
On sait que 𝐶x passe par le point AZ−)& ; 5[ et admet une tangente horizontale au point d’abscisse )&. 1. Montrer que, pour tout nombre réel 𝑥 de l’intervalle ] − 1; +∞[, 𝑓′(𝑥) = 𝑎 +b2); .
2. Donner 𝑓 Z−)&[ et 𝑓′ Z)&[.
3. Déterminer les nombres réels 𝑎 et 𝑏.
4. Donner une équation de la tangente à la courbe 𝐶x au point d’abscisse 2.
Exercice 15 :
1. On considère la fonction 𝑔 définie sur ]0 ; +∞[ par 𝑔(𝑥) = ln(𝑥 + 1) − ln 𝑥.
a. Montrer que pour tout nombre réel 𝑥 strictement positif, 𝑔(𝑥) = ln Z1 +b)[.
b. Étudier le signe de 𝑔(𝑥) sur ]0 ; +∞[.
c. Déterminer les limites de la fonction 𝑔 en 0 et en +¥.
d. Montrer que la dérivée de la fonction 𝐺 définie sur ]0 ; +∞[
par 𝐺(𝑥) = (𝑥 + 1) ln(𝑥 + 1) − 𝑥 ln 𝑥 est la fonction 𝑔.
2. On considère la fonction 𝑓 définie sur ]0 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 + ln(𝑥 + 1) − ln 𝑥.
On note 𝐶x sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
En utilisant les résultats de la question 1., justifier les affirmations données.
a. L’axe des ordonnées est asymptote à 𝐶x.
b. La courbe est au-dessus de la droite 𝐶x d’équation 𝑦 = 𝑥 + 2.
Étude complète de la fonction :
𝑥 ⟼ 2 − 𝑥 + ln 𝑥
ÉTUDE DE SUITES :
Exercice 16 : on définit deux suites de nombres réels (𝑢\) et (𝑣\) par les conditions suivantes : 𝑢F = 9 et, ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢\2) = †𝑢\ et 𝑣\ = ln(𝑢\).
1. Exprimer𝑣F, 𝑣), 𝑣& et 𝑣; en fonction de ln 3.
2. a) Démontrer que la suite (𝑣\) est une suite géométrique dont on déterminera la raison 𝑞.
b) Exprimer 𝑣\ en fonction de 𝑛. Quelle est la limite de la suite(𝑣\) ? Justifier.
3. Exprimer 𝑢\ en fonction de 𝑛. Quelle est la limite de la suite(𝑢\) ? Justifier.
Exercice E : suite convergente et ln
Soit (𝑢\) la suite définie par 𝑢F = 1 et pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑢\2) = 𝑢\− ln(𝑢\& + 1)
On admet que la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑙𝑛(𝑥&+ 1) est strictement croissante sur ℝ.
On rappelle aussi que la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0; +∞[ et que 𝑙𝑛(1) = 0.
a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢\ ∈ [0; 1].
b) Étudier les variations de la suite (𝑢\).
c) Montrer que la suite (𝑢\) est convergente. On notera 𝑙 cette limite.
d) Déterminer la valeur de 𝑙.
Exercice F : proba, suites et ln
Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que :
• La probabilité qu’il gagne la 1ère partie est de 0,1.
• S’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8.
• S’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6.
On note, pour tout entier 𝑛 naturel non-nul :
o 𝐺\ l’événement « le joueur gagne la 𝑛èŠ* partie. » o 𝑝\ la probabilité de l’événement 𝐺\.
On a donc 𝑝) = 0,1.
1) A l’aide de la formule des probabilités totales, montrer que, pour tout entier 𝑛 non-nul : 𝑝\2) = 1
5𝑝\+3 5
2) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel 𝑛 non-nul : 𝑝\ =;J−);J × Z)1[\ 3) Déterminer la limite de la suite (𝑝\) quand 𝑛 tend vers +∞.
4) Pour quelles valeurs de l’entier naturel 𝑛 a-t-on : ;J− 𝑝\ < 104Q ?
Exercice 17 : 1. Déterminer lim
b→2p𝑥 ln Z1 +)
b[.
2. Soit (𝑢\) la suite définie sur ℕ∗ par 𝑢\ = Z1 +)
\[\. a) Conjecturer la limite de(𝑢\).
b) Soit (𝑣\) la suite définie sur ℕ∗ par𝑣\ = ln(𝑢\). Déterminer la limite de (𝑣\).
c) En déduire la limite de (𝑢\).
Exercice G : logarithmes VS suites (Sujet Amérique du Nord mai 2019) Partie A : établir une inégalité
Sur l’intervalle ]0; +∞[, on définit la fonction 𝑓 par 𝑓(𝑥) = 𝑥 − ln(𝑥 + 1).
1. Étudier le sens de variations de la fonction 𝑓 sur l’intervalle ]0; +∞[.
2. En déduire que, pour tout 𝑥 ∈ ]0; +∞[, ln(𝑥 + 1) ≤ 𝑥.
Partie B : application à l’étude d’une suite
On pose 𝑢F = 1 et, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢\2) = 𝑢\− ln(1 + 𝑢\).
On admet que la suite de terme général 𝑢\ est bien définie.
1. Calculer une valeur approchée à 104; près de 𝑢&.
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢\ ≥ 0.
b. Démontrer que la suite (𝑢\) est décroissante, et en déduire que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢\ ≤ 1.
c. Montrer que la suite (𝑢\) est convergente.
3. On note 𝑙 la limite de la suite (𝑢\) et on admet que 𝑙 = 𝑓(𝑙), où 𝑓 est la fonction définie dans la partie A.
En déduire la valeur de 𝑙.
4. a. Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel 𝑝 donné, permet de déterminer le plus petit rang 𝑁 à partir duquel tous les termes de la suite (𝑢\) sont inférieurs à 104‘.
b. Déterminer le plus petit entier naturel 𝑛 à partir duquel tous les termes de la suite (𝑢\) sont inférieurs à 104)1.
PROBLEMES :
Exercice 18 : pour 𝑛 entier naturel non nul, on définit sur [0; +∞[ la fonction 𝑓\ par:
𝑓\(0) = 0 et 𝑓\(𝑥) = 𝑥\(2 𝑙𝑛 𝑥 − 1) pour 𝑥 ∈ ]0; +∞[.
𝐶\ est la courbe représentative de 𝑓\ dans un repère orthonormé (𝑂; 𝚤⃗, 𝚥⃗) d'unité graphique 4 cm.
Partie A : dans toute cette partie 𝒏 = 𝟏.
1. a) Étudier la continuité et la dérivabilité de 𝑓) sur [0; +∞[.
b) Étudier les variations de 𝑓) sur [0; +∞[
c) Étudier la limite de 𝑓) en+∞.
2. Soit 𝐴F le point de la courbe 𝐶) d'abscisse 𝑥F strictement positive et d'ordonnée nulle.
a) Montrer que la tangente 𝑇F en 𝐴F à 𝐶) coupe l'axe des ordonnées en un point 𝑀F dont on déterminera les coordonnées.
b) En déduire une construction simple de 𝑇F.
1. On admet que 𝑓\ est dérivable sur [0; +∞[ et que 𝑓\•(0) = 0. Déterminer l’expression de 𝑓\′ sur ]0; +∞[.
2. On désigne par 𝑥\ la valeur, autre que 0, pour laquelle 𝑓\′ s'annule.
a) Déterminer 𝑥\.
b) Montrer que pour tout entier 𝑛 ≥ 2, on a : 1 ≤ 𝑥\ ≤ √𝑒.
c) Étudier la monotonie de la suite (𝑥\) pour 𝑛 ≥ 2.
d) Montrer que la suite (𝑥\) converge et déterminer sa limite.
3. a) Étudier lim
b→2p𝑓\(𝑥).
b) Dresser le tableau de variation de 𝑓\. Partie C : dans cette partie 𝒏 ∈ ℕ∗.
Pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗, on définit la fonction𝑔\ définie [0; +∞[ par 𝑔\(𝑥) = 𝑓\2)(𝑥) − 𝑓\(𝑥).
1. Étudier le signe de 𝑔\(𝑥) pour tout réel 𝑥 positif.
2. Montrer que les courbes 𝐶\ passent toutes par deux points fixes, autres que 𝑂, dont les cordonnées sont à déterminer.
3. Étudier la position relative des courbes 𝐶\ et 𝐶\2) pour un 𝑛 fixé.
Exercice 19 : on considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle –−)& ; +∞— par :
𝑓(𝑥) = −𝑥&+ 𝑎𝑥 − ln(2𝑥 + 𝑏), où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels.
1. Déterminer 𝑎 et 𝑏 de telle sorte que la courbe représentative de la fonction 𝑓 dans un plan muni d’un repère orthonormé passe par l’origine du repère et admette une tangente horizontale au point d’abscisse )&.
On admet désormais que la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle –−)& ; +∞— par : 𝑓(𝑥) = −𝑥&+ 2𝑥 − ln(2𝑥 + 1).
2. a. Déterminer la limite de la fonction 𝑓 en −)&.
b. Que peut-on en déduire concernant la courbe représentative de la fonction 𝑓 ? 3. Étudier la limite de la fonction 𝑓 en +∞.
4. Montrer que, pour tout nombre réel 𝑥 strictement supérieur à −)&, 𝑓′(𝑥) =&b()4&b)
&b2) . 5. Étudier le sens de variation puis établir le tableau de variations de la fonction 𝑓.
6. Démontrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 dans l’intervalle [0 ; 1].
Donner une valeur approchée arrondi au centième de 𝛼.
7. Déterminer une équation de la tangente 𝑇 à la courbe représentative de la fonction 𝑓 au point d’abscisse 1.
Exercice 20 : on considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) = ln(𝑥&+ 4).
Partie A
1. Étudier le sens de variation de 𝑓 sur l’intervalle [0 ; +∞[.
2. On considère la fonction 𝑔 définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑥.
a. Étudier le sens de variation de 𝑔 sur l’intervalle [0 ; +∞[.
b. Montrer que sur l’intervalle [2 ; 3], l’équation 𝑔(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼.
Donner la valeur approchée de 𝛼 arrondie à 104) près.
c. Justifier que le nombre réel 𝛼 est l’unique solution de l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑥.
Partie B
On considère la suite (𝑢\) définie par 𝑢F = 1 et, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢\2) = 𝑓(𝑢\). La courbe représentative 𝐶x de la fonction f et la droite ∆ d’équation 𝑦 = 𝑥 sont tracées sur le graphique donné en annexe.
1. À partir de 𝑢F et en utilisant le courbe 𝐶x et la droite ∆, on a placé 𝑢) sur l’axe des abscisses.
De la même façon, placer les termes 𝑢&, 𝑢;, 𝑢J et 𝑢1 sur l’axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction.
2. Placer le point 𝐼 de la courbe 𝐶x ayant pour abscisse 𝛼.
3. a. Montrer que, pour tout nombre entier naturel 𝑛, on a 1 ≤ 𝑢\ ≤ 𝛼 . b. Démontrer que la suite (𝑢\) converge.
c. Déterminer sa limite.
Exercice H : fonction LN – Bac Nouvelle Calédonie 2017 On considère la fonction 𝑓 définie sur ]0; +∞[ par :
𝑓(𝑥) =(ln 𝑥)&
𝑥
On note 𝐶x la courbe représentative de 𝑓 dans un repère orthonormé.
1. Déterminer la limite en 0 de la fonction 𝑓 et interpréter graphiquement le résultat.
2. a. Démontrer que, pour tout 𝑥 ∈ ]0; +∞[ :
𝑓(𝑥) = 4 ™ln:√𝑥<
√𝑥 š
&
b. En déduire que l’axe des abscisses est une asymptote à 𝐶x au voisinage de +∞.
3. On admet que 𝑓 est dérivable sur ]0; +∞[ et on note 𝑓′ sa fonction dérivée.
a. Démontrer que, pour tout 𝑥 ∈ ]0; +∞[ :
𝑓•(𝑥) =ln(𝑥) (2 − ln(𝑥)) 𝑥&
b. Étudier le signe de 𝑓′(𝑥) selon les valeurs du nombre réel 𝑥 strictement positif.
c. Calculer 𝑓(1) et 𝑓(𝑒&).
On obtient le tableau de variations suivant :
4. Démontrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 1 admet une unique solution 𝛼 ∈ ]0; +∞[ et donner un encadrement de 𝛼 d’amplitude 104&.
Le plan est muni d’un repère orthonormé (𝑂; 𝚤⃗, 𝚥⃗) d’unité graphique 2 cm. On s’intéresse dans ce problème à une fonction 𝑓 définie sur l’intervalle ]0; +∞[.
On note 𝐶x la courbe représentative de la fonction 𝑓 dans le plan.
Partie A : étude d’une fonction auxiliaire
On considère la fonction 𝑔 définie sur l’intervalle ]𝟎; +∞[ par : 𝑔(𝑥) = 𝑥&− 1 + ln 𝑥.
On désigne par 𝑔′ la fonction dérivée de la fonction 𝑔.
1) a) Calculer 𝑔′(𝑥) pour tout réel 𝑥 appartenant à l’intervalle]0; +∞[.
b) En déduire le sens de variations de la fonction 𝑔 sur l’intervalle]0; +∞[.
2) Calculer 𝑔(1) et en déduire le signe de 𝑔(𝑥) pour x appartenant l’intervalle ]0; +∞[.
Partie B : détermination de l’expression de la fonction f
On admet qu’il existe deux constantes réelles 𝑎 et 𝑏 telles que, pour tout nombre réel 𝑥 appartenant à l’intervalle ]0; +∞[, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 −-. bb .
1) On désigne par 𝑓•la fonction dérivée de la fonction 𝑓.
Calculer 𝑓′(𝑥) pour tout réel 𝑥 appartenant à l’intervalle ]0; +∞[.
2) Sachant que la courbe 𝐶x passe par le point de coordonnées (1; 0) et qu’elle admet en ce point une tangente horizontale, déterminer les nombres 𝑎 et 𝑏.
Partie C : étude de la fonction f
On admet désormais que, pour tout nombre réel 𝑥 appartenant à l’intervalle ]0; +∞[ : 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 −ln 𝑥
𝑥
1) a) Vérifier que, pour tout réel 𝑥 appartenant à l’intervalle ]0; +∞[, 𝑓•(𝑥) =œ(b)b9 . b) Établir le tableau de variations de la fonction 𝑓 sur l’intervalle ]0 ; +∞[
c) En déduire le signe de 𝑓(𝑥) pour 𝑥 appartenant à l’intervalle ]0; +∞[.
2) a) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe 𝐶x au point d’abscisse 1.
b) Pour quelle valeur de 𝑥 la courbe 𝐶x admet-elle, au point d’abscisse 𝑥, une tangente parallèle à la droite 𝐷 d’équation 𝑦 = 𝑥 + 4 ?
3) Représenter graphiquement la droite 𝑇 et la courbe 𝐶x dans le plan muni du repère (𝑂; 𝚤⃗, 𝚥⃗).
