PanaMaths Janvier 2002

PanaMaths Janvier 2002

Déterminer :

3 3 2 3 3

lim 1

x x_→+∞^⎛⎜⎜⎝^⎛⎜⎝

x + ax + − b x +

où : ( ) ^{a b , ∈ \}

^{× \ .}

Analyse

Soit la fonction f définie par f x( )=³ x³+ax²+ −b ³ x³+1. On peut la récrire comme suit :

33 33 3 3 3

3 3 3 3

1 1

( ) 1 a b 1 1 a b 1

f x x x x

x x x x x x

⎛ ⎞

= + + − + = ⎜⎜⎝ + + − + ⎟⎟⎠. Les deux radicaux admettent 1 comme limite lorsque x tend vers +∞. Sans même considérer la puissance, nous constatons que pour ce qui est de la limite de f en +∞, nous sommes confrontés à une forme

indéterminée du type « ∞ − ∞ ».

On va donc commencer par étudier plus finement le comportement de f en +∞ en fonction des paramètres a et b en effectuant un développement limité adéquat.

Résolution

Le développement limité de f en +∞ à l’ordre 2 s’écrit :

1 1

3 3

3 3

2 3

3 3 3 3 3 3

2 3

2 2

( ) 1 1 1

1 1 5 1 1 1 1

1 1

3 9 81 3

5 1 1 1

3 9 3 81 3

a b f x x

x x x

a b a b a b

x x x x x x x x x x

a a b a

x x x

ο ο

ο

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜⎝⎜⎝ + + ⎟⎠ − +⎜⎝ ⎟⎠ ⎟⎠

⎛⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞⎞

⎜ ⎟

= ⎜⎝⎜⎜⎝ + ⎜⎝ + ⎟⎠− ⎜⎝ + ⎟⎠ + ⎜⎝ + ⎟⎠ + ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎟⎠− +⎜⎝ + ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠⎟⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − +⎜⎝ + − ⎟⎠ + ⎜⎝ ⎟⎠

Note : il n’est pas, à priori, évident de prévoir l’ordre auquel ce développement limité doit être mené ! Nous le menons à l’ordre 2 au cas où …

Du résultat obtenu, on tire : lim ( ) 3

x

f x a

→+∞ = . On peut alors mener une première discussion.

PanaMaths Janvier 2002

1. Si 1 3

a< , c’est à dire a<3, on a x^lim

( (

)

)

f x a

→+∞ →+∞

⎛⎛ ⎞ ⎞

= ⎜⎜⎝⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎟⎠= .

2. Si 1 3

a > , c’est à dire a>3, on a x^lim

( (

)

)

f x a

→+∞ →+∞

⎛⎛ ⎞ ⎞

= ⎜⎜⎝⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎟⎠= +∞. 3. Si a=3, on a lim ( ) 1

x f x

→+∞ = et nous sommes confrontés à une forme indéterminée du type « 1^∞ ».

On considère alors :

(

) (

)

2 3

2 2

ln 1 ln 1

5 1 1 1

ln 3 9 3 81 3

x

x ax b x x x ax b x

a a b a

x x x ο x

⎛ + + − + ⎞= + + − +

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞

= ⎜⎜⎝ − +⎜⎝ + − ⎟⎠ + ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎟⎠

Pour a=3, l’égalité se récrit :

(

)

ln 3 1 ln 1

3

x b

x x b x x

x x ο x

⎛ + ⎛ ⎞⎞

⎛ + + − + ⎞= − + +

⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎠

Or, en +∞ on a : 1 ₂4 1₂ 1 1

ln 1 3

b

x x ο x x ο x

⎛ − + + + ⎛⎜ ⎞⎟⎞= − + ⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎝ ⎠

⎝ ⎠ et donc :

(

)

lim ln 3 1 1

x

x x x b x

→+∞

⎛ ⎛⎜ + + − + ⎞⎟⎞= −

⎜ ⎝ ⎠⎟

⎝ ⎠

Soit, finalement :

(

)

lim 3 1

x

x x x b x e

e

−

→+∞

⎛ + + − + ⎞= =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Résultat final

(

)

lim 1

x

x x ax b x

→+∞

⎛ + + − + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ est égale à :

0 pour 0≤ <a 3 ; 1

e pour a=3 +∞ pour a>3

Note : ces limites ne dépendent pas de la valeur de b.