PanaMaths Janvier 2002
Déterminer :
lim
0 ax bxoù et sont deux réels non nuls.
x
e e
a b
→
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
Analyse
Comme on a limx→0
(
eax−ebx)
=e0−e0= − =1 1 0, nous sommes confrontés à une forme indéterminée du type « 00 ». On peut rapidement lever l’indétermination en identifiant des nombres dérivés ou en travaillant avec des développements limités. Nous développons ci-après les deux approches.
Résolution
1
èreapproche : identifier des nombres dérivés
Soit la fonction f définie sur \* par ( )
ax bx
e e
f x x
= − .
On peut la récrire comme suit :
1 1
( )
ax bx ax bx
e e e e
f x x x x
− − −
= = −
Or, on a : limx→0⎛⎜⎝eaxx−1⎞⎟⎠=limx→0⎛⎜⎝eaxx−−0e0⎞⎟⎠=
( )
eax '( )
0 =( )
aeax( )
0 =ae0 =a.La limite du premier terme n’est rien d’autre que la valeur en 0 de la dérivée de la fonction ( ) ax
f xa =e .
Il en va de même pour le deuxième terme :
0
lim 1
bx
x
e b
→ x
⎛ − ⎞=
⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
Finalement :
0 0 0 0
1 1
lim ( ) lim lim lim
ax bx ax bx
x x x x
e e e e
f x a b
x x x
→ → → →
⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞
= ⎜ ⎟= ⎜ ⎟− ⎜ ⎟= −
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
PanaMaths Janvier 2002 2
èmeapproche : utiliser des développements limités
Au voisinage de 0, on a les développements limités au premier ordre suivants :
1 ( )
eax = +ax+ο x et ebx = +1 bx+ο( )x
D’où : eax −ebx =
(
a b x−)
+ο( )x et, finalement : eax ebx(
a b)
(1)x ο
− = − + .
C’est à dire :
0
lim
ax bx
x
e e
x a b
→
⎛ − ⎞= −
⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
Résultat final
0
lim
ax bx
x
e e
x a b
→
⎛ − ⎞= −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
