PanaMaths Janvier 2002

(1)

PanaMaths Janvier 2002

Déterminer :

lim 1

1

x x

x

→+∞

x

⎛⎛ ⎞ ⎞

⎜⎜ ⎟ ⎟

⎜⎝ ⎠ ⎟

⎝ ⎠

+ −

Analyse

Comme 1

lim 1

1

x

→+∞ x

⎛ − ⎞ =

⎜ + ⎟

⎝ ⎠ et lim

x x

→+∞ = +∞, nous sommes confrontés à une forme indéterminée du type « 1^∞ ». Plusieurs approches permettent de lever l’indétermination. Comme, au voisinage de +∞, la fonction f définie par 1

( ) 1

x x

f x x

⎛ − ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠ prend des valeurs positives, on peut en considérer le logarithme népérien pour mener les calculs. Pour autant, on peut travailler directement avec la fonction f elle-même.

Résolution

1

^ère

approche : détermination directe

On considère donc la fonction f définie par : 1

( ) 1

x x

f x x

⎛ − ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠ .

Nous en transformons l’écriture pour faire apparaître des expressions dont les limites en +∞

sont connues.

On a :

( )

1 1 1

1 1

( ) 1 1 1 1 1

1 1

1

x x x

x x x x

x

x x

x x x

f x x x

x x

x

⎛ ⎛⎜ − ⎞⎟⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− −

⎛ ⎞ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=⎜⎝ + ⎟⎠ = + =⎛⎜⎝ ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠⎞⎟⎠ = ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ =⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠

Or, on a la limite classique : ^*, lim 1

x a x

a a e

→∞ x

⎛⎛ ⎞ ⎞

∀ ∈\ ⎜⎜⎝⎜⎝ + ⎟⎠ ⎟⎟⎠= .

(2)

PanaMaths Janvier 2002

On en tire :

1

1 2

lim 1 1 lim ( ) 1

lim 1 1

x x

x

x e

f x e e

x

→+∞ −

→+∞

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= = =

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

2

^ème

approche : considérer le logarithme népérien de f

Introduisons la fonction g définie sur

]

^1,^+∞

[

^{par :} ^{( )} ^ln

(

^{( )}

)

^ln ¹

1

g x f x x x

x

⎛ − ⎞

= = ⎜⎝ + ⎟⎠.

On en transforme l’écriture pour faire apparaître des expressions de limites connues en +∞ :

(

¹

)

² ^{ln 1} ²

1 2 2 1

ln ln ln 1

1 1 1 1 2

1 ln 1 2

2 1 1 2

1

x x x

x x x x

x

x x

x

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎛ + − ⎞

− +

⎛ ⎞= ⎜ ⎟= ⎛ − ⎞= ⎛− ⎞ ⎝ ⎠

⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟ ⎛ ⎞

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜⎝− + ⎟⎠

⎛ − ⎞

⎜ + ⎟

⎛ ⎞ ⎝ ⎠

= − ⎜⎝ + ⎟⎠ ⎛⎜⎝− + ⎞⎟⎠

On a facilement : lim 1 1

x

→+∞ x

⎛ ⎞ =

⎜ + ⎟

⎝ ⎠ .

Par ailleurs, comme 2

lim 0

1

x^→+∞ x

⎛ − ⎞ =

⎜ + ⎟

⎝ ⎠ , on a (voir cours) :

ln 1 2

lim 1 1

2 1

x

x x

→+∞

⎛ ⎛⎜ − ⎞⎟⎞

⎜ ⎝ + ⎠⎟

⎜ ⎟ =

⎛ ⎞

⎜ ⎜− ⎟ ⎟

⎜ ⎝ + ⎠ ⎟

⎝ ⎠

.

Finalement : 1

lim ( ) lim ln 2

1

x x

g x x x

→+∞ →+∞ x

⎛ ⎛ − ⎞⎞

= ⎜⎝ ⎜⎝ + ⎟⎠⎟⎠= − . On en tire alors : ² 1₂ lim ( )

x f x e

e

−

→+∞ = = .

On a retrouvé le résultat obtenu précédemment.

Résultat final

2

1 1

lim 1

x x

x

x e

→+∞

⎛⎛ − ⎞ =⎞

⎜⎜ ⎟ ⎟

⎜⎝ + ⎠ ⎟

⎝ ⎠