PanaMaths Février 2002
Calculer :
2
( )
2 0
cos
x x dx
π
∫
Analyse
On peut procéder à une intégration par parties en vue d’abaisser le degré du polynôme se trouvant sous le signe somme.
Résolution
On pose donc :
• u x
( )
=x2, qui donne u x'( )
=2x.• v x'
( )
=cos( )
x dont une primitive est v x( )
=sin( )
x .L’intégration par parties s’écrit alors :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
0
0 0
2
2 2
0 0
2 2
0
cos '
sin 2 sin
2 sin 4
x x dx u x v x u x v x dx
x x x x dx
x x dx
π π
π
π π
π
π
⎡ ⎤
=⎣ ⎦ −
⎡ ⎤
=⎣ ⎦ −
= −
∫ ∫
∫
∫
Nous pouvons à nouveau procéder à une intégration par parties avec cette fois :
• u x
( )
=x, qui donne u x'( )
=1.• v x'
( )
= −sin( )
x dont une primitive est v x( )
=cos( )
x .PanaMaths Février 2002
On a alors :
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2 2
2
0 0
2 2
2 0
0
2 2
2 0
0 2
2 0 2
cos 2 sin
4
2 2 '
4
2 cos 2 cos
4
2 sin 4
4 2
x x dx x x dx
u x v x u x v x dx
x x x dx
x
π π
π π
π π
π
π
π
π
π π
= −
⎡ ⎤
= + ⎣ ⎦ −
⎡ ⎤
= + ⎣ ⎦ −
⎡ ⎤
= − ⎣ ⎦
= −
∫ ∫
∫
∫
Résultat final
( )
22 2 0
cos 2
x x dx 4
π
=π −
