PanaMaths Janvier 2012

PanaMaths Janvier 2012

Existence et calcul de :

0

I = ∫

^+∞

t e

⁻ t

dt

Analyse

La racine carrée dans l’argument de l’exponentielle engendre quelques calculs supplémentaires (dont un changement de variable) mais pas de difficulté majeure.

Résolution

Notons, dans un premier temps, que la fonction t6t e^{− t} est à valeur positives sur \₊. La borne « 0 » ne pose pas de problème.

On a par ailleurs :

3 6

lim 3 ^t lim lim _X 0

t t t X

t X

t e e e

−

→+∞ = →+∞ = →+∞ = .

On en déduit que pour t suffisamment grand, on a : t e^{3 − t} <1, soit : _t 1₂ t e t

− < . Or, pour tout réel a strictement positif, ₂

a

dt t

∫

+∞ converge. Il en va donc de même pour ^t

a^+∞t e⁻ dt

∫

^{et pour}

0

t e tdt

+∞ −

∫

^.

0

I=

∫

^+∞t e⁻ tdt ^existe

Considérons la fonction ϕ de \₊ dans \₊ définie par : ^ϕ:u6ϕ

( )

^{u =u2=t.}

Elle est bijective et de classe

C

^1.

On a alors, en tenant compte de dt=2u du : ^{2 2 3}

0 ^u 2 2 0 ^u

I=

∫

^+∞u e⁻ u du=

∫

^+∞u e du^{− .}

On peut facilement obtenir une primitive sur \₊ de la fonction f u: 6u e^{3 −u} sous la forme

( )

: ^u

F u6P u e⁻ où P est une fonction polynôme de degré 3 : ^{P u}

( )

^{=au3+bu2+cu+d.}

PanaMaths Janvier 2012

Il vient :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 3 2

3 2

' '

3 2

3 2

u

u

u

F u P u P u e

au bu c au bu cu d e

au a b u b c u c d e

−

−

−

=⎡⎣ − ⎤⎦

⎡ ⎤

=⎣ + + − + + + ⎦

⎡ ⎤

= −⎣ + − + − + − ⎦

On a alors :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 2 3

3 2 3

'

3 2

3 2

1

3 0

2 0

0

u u

F u f u

au a b u b c u c d e u e

au a b u b c u c d u

a a b b c c d

− −

=

⎡ ⎤

⇔ −⎣ + − + − + − ⎦ =

⇔ − + − + − + − =

⎧ − =

⎪ − =

⇔ ⎨⎪⎪ − =

⎪ − =

⎩

On obtient facilement : a= −1, b= −3 et c= = −d 6.

Soit : ^{F u: 6}

(

^{− −u3 3u2−6u−6}

)

^{e−u = −}

(

^u3+3u2+6u+6

)

^e−u.

Pour tout réel A positif, on a alors :

( )

² ₀^{A 3 u 2}

(

^{3 3 2 6 6}

)

^u ₀^{A 2}

(

^{3 3 2 6 6}

)

^{A 12}

I A =

∫

u e du⁻ = ⎡⎣− u + u + u+ e⁻ ⎤⎦ = − A + A + A+ e⁻ + Pour tout entier naturel n, on a : lim ^{n x} 0

x x e⁻

→+∞ = , on a : _A^lim_→+∞

{

⁻²

(

^A3+3A2+6A+6

)

^e−A

}

^=0.

Il vient alors :

( ) { (

^{3 2}

) }

lim lim 2 3 6 6 ^A 12 12

A A

I I A A A A e⁻

→+∞ →+∞

= = − + + + + =

12 I=

Résultat final

L’intégrale

0

I=

∫

^+∞t e⁻ tdt existe et vaut 12.