PanaMaths Septembre 2012
Simplifier : arctan 1 1 x x
− + .
Analyse
On peut « assez naturellement » poser
( )
arctan 11 f x x
x
= −
+ et penser à dériver f (la dérivée d’une fonction rationnelle est encore une fonction rationnelle et la dérivée de la fonction arctan est elle-même une fonction rationnelle). On doit simplement prendre garde au fait que la fonction f n’est pas définie en 1− …
Résolution
On considère donc la fonction f définie par :
{ }
\ 1 ;
2 2 :
arctan 1 1 f
x x
x π π
⎧ − → −⎤ ⎡
⎪ ⎥ ⎢
⎪ ⎦ ⎣
⎨ −
⎪⎪ +
⎩
\ 6
La fonction 1
1 x x
x
−
6 + est dérivable sur les intervalles
]
−∞ −; 1[
et]
− + ∞1;[
commefonction rationnelle. La fonction arctan est dérivable sur \. On en déduit ainsi que la fonction f est dérivable sur les intervalles
]
−∞ −; 1[
et]
− + ∞1;[
.Pour tout x réel différent de 1− il vient alors :
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
2
2
1 1 1 1 1
'
1 1
1 1
2 1
1 1
2
2 1 2 1
2
2 2
1 1 arctan'
x x
f x
x x
x
x x
x x x x
x x
x
× + − − ×
= ×
+ + ⎜⎛⎝ −+ ⎞⎟⎠
= × + + −
= + + + − +
= +
= +
=
PanaMaths Septembre 2012
Ainsi, les fonctions f et arctan admettent la même dérivée. Elles diffèrent donc d’une constante qui, à priori, n’a aucune raison d’être identique sur l’intervalle
]
−∞ −; 1[
et surl’intervalle
]
− + ∞1;[
.Sur
]
−∞ −; 1[
.On a : 1 1
arctan arctan 1
x x C
x
− = +
+ .
On a : lim 1 lim 1 1
x x
x x
x x
→−∞ →−∞
− = =
+ , d’où (composition et arctan continue en 1) : lim arctan 1 arctan1
1 4
x
x x
π
→−∞
− = =
+ . Par ailleurs : lim arctan
2
x x π
→−∞ = − .
On déduit de ce qui précède : 1
4 2 C
π = − +π
, soit : 1 3 C = 4π
.
Sur
]
− + ∞1;[
.On a : 1 2
arctan arctan 1
x x C
x
− = +
+ .
On a : 1
lim lim 1
1
x x
x x
x x
→+∞ →+∞
− = =
+ , d’où (cf. ci-dessus) : 1
lim arctan arctan1
1 4
x
x x
π
→+∞
− = =
+ . Par
ailleurs : lim arctan 2
x x π
→+∞ = .
On déduit de ce qui précède : 2
4 2 C
π π= +
, soit : 2 C = −π4
.
Résultat final
• Pour x∈ −∞ −
]
; 1[
, on a : arctan 1 arctan 31 4
x x
x
π
− = +
+ .
• Pour x∈ − + ∞
]
1 ;[
, on a : arctan 1 arctan1 4
x x
x
π
− = −
+ .
