PanaMaths Septembre 2017
Nature de ∑ u
noù :
2
arccos 1 1 u
n= − n
(Oral Mines-Ponts – MP – 2014)
Analyse
On a immédiatement 12
lim 1 1
n→+∞ n
⎛ − ⎞=
⎜ ⎟
⎝ ⎠ puis (continuité de la fonction racine carrée en 1)
2
lim 1 1 1
n→+∞ −n = et, enfin (continuité de la fonction arccos en 1) : 12
lim arccos 1 0
n→+∞ −n = .
La série
∑
un converge peut-être...On peut procéder de bien des façons… On peut s’intéresser au comportement de 12 1−n au voisinage de l’infini mais on peut aussi porter l’attention sur cette même racine carrée comme argument d’une fonction trigonométrique circulaire…
Résolution
Pour tout entier naturel n non nul, on a : 12
1 1
−n < et donc 12
1 1
−n < . On en déduit immédiatement un >0 : la série
∑
un est donc une série à termes (strictement) positifs.Posons alors f x
( )
=arccos 1−x2 et donnons un DL de f en 0 à droite.On peut écrire : f x
( )
=arccosg x( )
avec g x( )
= 1−x2 qui donne, pour x∈] [
0 ; 1 :( )
2 2 2'
2 1 1
x x
g x
x x
= − = −
− −
Il vient alors, toujours sur
] [
0 ; 1 :( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
2
' 1 1
'
1 1 1
1 1 1
x
g x x x x
f x
x x x x x
g x x
− −
= − = − = = =
− × − × −
− − −
PanaMaths Septembre 2017
D’où : '
( )
0 1 2 0(
1 2)
12 01 22( )
21
f x x x o x
x
= = − − = + +
− .
De f
( )
0 =0, on tire, en intégrant le DL précédent : f x( )
= +0 x x63+o x( )
3 .Comme 1
un f n
= ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠, il vient : 1 13 13
n 6
u o
n n n
+∞
⎛ ⎞
= + + ⎜ ⎟⎝ ⎠, d’où : 1 un
+∞∼ n. Enfin, comme 1
∑
n est une série divergente, il en va de même pour∑
un.Comme 12
1 1 0
> −n ≥ , il vient 0 ;
n 2
u ⎤ π⎤
∈ ⎥⎦ ⎥⎦ et donc :
( )
22
2 2
1 1 1
sinun 1 cos un 1 1
n n n
= − = − − = =
Comme lim n 0
n u
→+∞ = , on a 1
sinun un n = +∞∼ .
On a retrouvé, sans avoir recours aux DL, l’équivalent 1 un
+∞∼ n et on conclut bien sûr à l’identique.
Résultat final
La série 12
arccos 1
−n
