PanaMaths Septembre 2017
Nature de ∑ u
noù :
( )
2
( )
3
1 1
n
n n
u
n n
= −
+ −
Analyse
On montre facilement que un est défini pour n≥2. Ensuite, comme
2
2 3
n≥ ⇒n > n, on établit que la série
∑
un est alternée.Résolution
Pour tout entier naturel n≥2, on a :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 1 2
3 3 2 3
2 1
3 2 6
3 1
2 1 2 1 1
3 6 3 6 6
1
2 1 1 2 1
3 6 6 3 6
2 5
3 6
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1
n n n
n n
n
n
n n n n
n n n n
n n
u
n n
n n n
n n n
o
n n n n n
n n
n n n n n
n
n n
ε ε
ε
−
+
− − −
= × = × = ×
+ − + − + −
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− ⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎜ ⎟⎟
= × +⎜⎝ ⎟⎠ = × −⎜⎝ + ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− ⎜ − ⎟ − ⎜ − + ⎟
= × − + = × +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− − −
= +
avec : lim
( )
0n ε n
→+∞ = .
La série de terme général
( )
2 3
1 n n
− est une série alternée.
PanaMaths Septembre 2017
Or, on a
( )
2 3
lim 1 0
n
n
n
→+∞
− = et
( )
2 2
3 3
1 n 1
n n
⎛ − ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜= ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
est décroissante. D’après le critère spécial des
séries alternées, la série
( )
2 3
1 n n
∑
− est donc convergente.Intéressons-nous maintenant à la série de terme général
( ) ( )
5 6
1 n n 1
n ε
− −
. Comme lim
( )
0n ε n
→+∞ = , il existe un rang N à partir duquel on a
( ) ( )
−1nε n ∈ − +]
1 ; 1[
. A partir de ce rang, on aura( ) ( )
−1 nε n − ∈ −1]
2 ; 0[
et donc( ) ( )
5 6
1 1
0
n n
n ε
− −
< . Ainsi, la série de
terme général
( ) ( )
5 6
1 n n 1
n ε
− −
est une série à termes de signe constant à partir d’un certain rang.
Or, il vient facilement :
( ) ( )
5 5
6 6
1 n n 1 1
n n
ε
+∞
− − −
∼ . La série de terme général 5
6
1 n
− est une série de
Riemann divergente (car 5
6 ≤1). On en déduit que la série de terme général
( ) ( )
5 6
1 n n 1
n ε
− −
est également divergente.
En définitive,
∑
un est la somme d’une série convergente et d’une série divergente. Elle est donc divergente.Résultat final
La série
( )
2
( )
3
1 1
n
n n n
⎛ ⎞
⎜ − ⎟
⎜ ⎟
⎜ + − ⎟
⎝ ⎠
