PanaMaths Septembre 2017
Nature de ∑ u
noù :
1 1
n
u
ne
n
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + −
Analyse
On rappelle le résultat très classique : 1 lim 1
n
n e
→+∞ n
⎛ + ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ . La série
∑
un converge peut-être…On peut alors s’intéresser au signe de un…
Résolution
En étudiant par exemple la fonction
[
1 ;[
: 1
ln 1 1
x x
x ϕ
⎧ + ∞ →
⎪⎨ ⎛⎜ + ⎞⎟−
⎪ ⎝ ⎠
⎩
on montre facilement que l’on a : x
[
1 ;[
, ln 1x 1 1x
⎛ ⎞
∀ ∈ + ∞ ⎜⎝ + ⎟⎠< .
D’où : * 1
, ln 1 1
n n
n
⎛ ⎞
∀ ∈ ⎜⎝ + ⎟⎠< puis * 1
, 1
n
n e
n
⎛ ⎞
∀ ∈ ⎜⎝ + ⎟⎠ < , soit : ∀ ∈n *,un<0. On a donc affaire à une série dont le terme général garde un signe constant.
On a facilement le développement limité de 1 ln 1 x
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ à l’ordre 2 au voisinage de l’infini :
2 2
1 1 1 1
ln 1 o
2
x x x x
⎛ + ⎞= − + ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
d’où : 1 1 1
ln 1 1 o
x 2
x x x
⎛ + ⎞= − + ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ et 1 1 1
ln 1 1 o
n 2
n n n
⎛ + ⎞= − + ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠.
PanaMaths Septembre 2017
Il vient alors :
1 1 1
ln 1 1 o
2
1 1
2 o
1 1
1 1
1 1 o 1
2 o 1
2
n n
n n n
n
n n
u e e e e e
n
e e e
n n
e
n n
⎛+ ⎞ − + ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− + ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠
⎛ ⎞
= +⎜⎝ ⎟⎠ − = − = −
⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞
= ⎜⎜⎝ − =⎟⎟⎠ ⎜⎝ − + ⎜ ⎟⎝ ⎠− ⎟⎠
= − + ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠
Finalement :
n 2 u e
+∞∼− n. Or 2
e
− n est le terme général d’une série divergente (série de Riemann divergente). On en déduit que
∑
un diverge également.Résultat final
La série 1
1
n
n e
⎛⎛ + ⎞ − ⎞
⎜⎜ ⎟ ⎟
⎜⎝ ⎠ ⎟
⎝ ⎠
