PanaMaths Septembre 2017

(1)

PanaMaths Septembre 2017

Soit p un entier relatif.

Nature de ∑ u

_n

^{où :}

( )

1! 2! ... !

n

! n

u n p

+ + +

= +

Analyse

Nous notons dans un premier temps que la série est à termes (strictement) positifs.

Comme souvent avec un terme général dépendant d’un paramètre, on doit d’abord se demander pour quelle valeur du paramètre on a lim _n 0

n u

→+∞ = .

Résolution

!

n est le plus grand terme du numérateur. Ainsi, si n+ ≤p n, c’est-à-dire p≤0, on aura

(

ⁿ⁺ ^p

)

^!^≤ⁿ^! et donc, pour tout entier naturel n non nul :

( )

( ) ( )

1

1! 2! ... 1 ! ! 1! 2! ... 1 ! !

! ! ! 1

n

n n n n

u n p n p n p

≥

+ + + − + + + + −

= = + ≥

+ + +

Dans ce cas, la série

∑

u_n est grossièrement divergente.

Supposons désormais p>0.

Posons, pour alléger les écritures : σ_n = + + +1! 2! ... n! On a :

( ) ( )( ) ( )

1! 2! ... ! 1

! ! 1 2 ...

n n

u n

n p n n n n p

σ + + +

= = ×

+ + + + .

Pour tout n entier naturel non nul, on a :

( )

( ) ( ) ( )

1! 2! ... 1 ! ! 1! 2! ... !

! ! !

1! 2! ... 1 ! 1 1 ! 1 1

1 1 1 2 2

! !

n n n n

n n n

n n n n

σ = + + + = + + + − +

+ + + − − × − −

= + ≤ + = + = − ≤

Ainsi :

( )(

¹

) ( ) ( )(

²

) ( )

! 1 2 ... 1 2 ...

n

un

n n n n p n n n p

=σ × ≤

+ + + + + + .

(2)

PanaMaths Septembre 2017

Comme 0u_n> , 1

lim 2 2

n^→+∞ n

⎛ − ⎞=

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et

( )(

¹

) ( )

lim 0

1 2 ...

n^→+∞ n n n p =

+ + + , on en déduit finalement

par encadrement : lim _n 0

n u

→+∞ = .

L’encadrement :

( )(

²

) ( )

0 uⁿ 1 2 ...

n n n p

< ≤

+ + + va nous être utile pour la suite.

En effet, si p≥2, on a :

( )( ) ( )

facteurs

2 2

0 ⁿ 1 2 ... ^p

p

u n n n p n

< ≤ ≤

+ + + . Or la série 1

np

∑

^est

convergente (série de Riemann convergente). On en déduit immédiatement que

∑

u_n converge.

Traitons enfin le cas p=1. Dans ce cas on a :

( ) ( )

( )

1

1 1

1

1 ! 2 1 1 1 !

1 2 2

! 1

1 1 ! 1 1

1 1

2 2

n

n n n

n n n n

n n

n n n

u

u n n

n n

n

n n u

σ

σ σ

σ σ σ

σ

+

+ +

+ × + + +

= = × = ×

+ +

× + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + × +⎜⎝ ⎟⎠= + × +⎜⎝ ⎟⎠

On en tire finalement : 1

( )

1 1

n 2 n

u u

+ =n × +

+ puis : ₁ 1

n 2

u ^{+ +∞}∼ n+ , soit 1 un

+∞∼ n. La série

∑

u_n est donc divergente.

Résultat final

La série de terme général

( )

1! 2! ... !

n ! u n

n p + + +

= + où p∈ est divergente pour p≤1 (grossièrement pour p≤0)

et convergente pour p≥2.