PanaMaths Septembre 2011

(1)

PanaMaths Septembre 2011

Résoudre :

( )

2 2

3

1

1 x my m

mx y mz

mx y z

m z

m S

m

− =

− + =

+ − = −

⎧ +

⎪ ⎨

⎪ ⎩

où m est un paramètre réel.

Analyse

La seconde équation nous pousse immédiatement à étudier une certaine valeur de m. Ensuite, la première équation nous donne immédiatement le pivot nous permettant d’amorcer la résolution. Une discussion sur le paramètre m suit naturellement.

Résolution

Les coefficients de la seconde équation « suggèrent » d’envisager le cas : m=0.

Dans ce cas, la deuxième équation se récrit : 0 1= et le système

( )

^S n’admet pas de solution.

Supposons désormais : m≠0.

La première équation suggère d’utiliser « x » comme pivot.

On a alors, en retranchant à la seconde et à la troisième équations m fois la première :

( )

3 2

2 3 2

2

1

1 2 1

m m z m

S m y m z m

x my m z m

⎧ − = −

⇔⎪⎪⎨ + − = − −

⎪ − + =

⎪⎩

Les deux premières équations conduisent alors à la discussion suivante : 1^er cas : 1−m²=0, c'est-à-dire m² =1, soit encore ^m^{∈ −}

{

^{1 ; 1}

}

^.

• Si m=1, on a :

( )

² ² ² ¹

1 1

y z y z

S x y z x y z

− = − − = −

⎧ ⎧

⇔⎨⎩ − + = ⇔⎨⎩ − + =

(2)

PanaMaths Septembre 2011

En additionnant les égalités membre à membre, on obtient x=0. Il vient alors : y− = −z 1.

L’ensemble des solutions est alors l’ensemble des triplets de la forme :

(

^{0 ;}^{y y}^; ⁺¹

)

^.

• Si m= −1, on a :

( )

² ² ² ¹

1 1

y z y z

S x y z x y z

+ = − + = −

⎧ ⎧

⇔⎨⎩ + + = − ⇔⎨⎩ + + = −

En soustrayant les deux égalité membre à membre, on obtient encore : x=0. Il vient cette fois : y+ = −z 1.

L’ensemble des solutions est alors l’ensemble des triplets de la forme :

(

^{0 ;}^y^;^{− −}^y ¹

)

^.

2^ème cas : ^m^{∉ −}

{

^{1 ; 1}

}

Dans ce cas, on a :

( )

( ) ( )

3 2

2 3 2

2

2 2

2 3 2 2 3 2

2 2

2 2 2 2 2

1

1 2 1

1

1 1

1 2 1 1 2 1

1 1

1 2 1 1 1

0

m m z m

S m y m z m

x my m z m

m m z m z m

m y m z m m y m z m

x my m z m x my m z m

z z

m m

m y m m m y m

x my m m x my

z

⎧ − = −

⇔⎪⎪⎨ + − = − −

⎪ − + =

⎪⎩

⎧ =

⎧ − = − ⎪

⎪ ⎪

⇔⎨ + − = − − ⇔⎨ + − = − −

⎪ − + = ⎪ − + =

⎪ ⎪

⎩ ⎪⎩

⎧ = ⎧ =

⎪ ⎪

⇔⎨ + − = − − ⇔⎨ + = −

⎪ − + = ⎪ − =

⎪ ⎪

⎩ ⎩

=

⇔

(

²

)

2

2 2

1 1

1

1 1

1 x m m

m m

y y

m m

x my

z m

⎧ −

⎧ ⎪ =

⎪ ⎪ +

⎪ − ⎪ −

⎪ = ⇔⎪ =

⎨ + ⎨ +

⎪ ⎪

=

⎪ ⎪ =

⎪ ⎪

⎩ ⎪⎩

Dans ce cas, le système admet pour unique solution le triplet :

(

²

)

²

2 2

1 1 1

; ;

1 1

m m m

m m m

⎛ − − ⎞

⎜ ⎟

⎜ + + ⎟

⎝ ⎠

.

(3)

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Résultat final

Soit

S

l’ensemble des solutions du système

( )

^S ^:

2 2

3

1 1

x my m z m

mx m y mz

mx y m z

⎧ − + =

⎪ − + =

⎨⎪ + − = −

⎩

• Si m=0,

S

= ∅^.

• Si m=1,

S

⁼

{ (

^{0 ;} ^{y y}^; ⁺^{1 /}

)

^y^∈^\

}

^.

• Si m= −1,

^S

⁼

{ (

^{0 ;}^y^;^{− −}^y ^{1 /}

)

^y^∈^\

}

^.

• Si ^m^{∉ −}

{

^{1 ; 0 ; 1}

}

^,

(

²

)

²

2 2

1 1 1

; ;

1 1

m m m

m m m

⎧⎛ − − ⎞⎫

⎪⎜ ⎟⎪

= ⎨⎪⎩⎜⎝ + + ⎟⎠⎬⎪⎭