PanaMaths Septembre 2011
Calculer :
0
( )
cosh
n k
kx
∑
=Analyse
Un calcul classique dans lequel la définition du cosinus hyperbolique permet de se ramener à des sommes de termes consécutifs de suites géométriques.
Résolution
On a :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
2 2 3 3
2 3 2 3
2 3 2 3
cosh cosh 0 cosh cosh 2 cosh 3 ... cosh
1 1 1 1
1 ...
2 2 2 2
1 1
1 ... 1 ...
2 2
1 1
1 ... 1 ...
2 2
1 1 2
n
k
x x x x x x nx nx
x x x nx x x x nx
x x x nx nx x x x nx
kx x x x nx
e e e e e e e e
e e e e e e e e
e e e e e e e e e
=
− − − −
− − − −
−
= + + + + +
= + + + + + + + + +
= + + + + + + + + + + +
= + + + + + + + + + + +
=
∑
(
+ +ex e2x+e3x+ +... enx)(
1+e−nx)
On reconnaît dans la somme 1+ +ex e2x+e3x+ +... enx la somme de n+1 termes consécutifs d’une suite géométrique de raison ex. On doit donc distinguer deux cas.
Si ex =1, c'est-à-dire si x=0, on a :
( )
0
cosh cosh 0 cosh 0 cosh 0 cosh 0 ... cosh 0 1
n
k
kx n
=
= + + + + + = +
∑
PanaMaths Septembre 2011
Si 1ex ≠ , c'est-à-dire si x≠0, on a :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )
0
2 3
1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
2
1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
cosh cosh 0 cosh cosh 2 cosh 3 ... cosh
1 1 ... 1
2 1 1 2 1
cosh 2
1 2
n
k
x x x nx nx
n x n n n
x x x
x
n n n
x x x
nx
x x x
n n
x x
kx x x x nx
e e e e e
e e e e
e
e e e
e nx
e e e
e e
=
−
+ − −
+ − + +
−
−
+ − +
= + + + + +
= + + + + + +
⎛ ⎞
= −− ⎜⎝ + ⎟⎠
⎛ ⎞
⎜ − ⎟
⎛ ⎞
⎝ ⎠
= ⎛⎜ − ⎞⎟ ⎜⎝ ⎟⎠
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ − ⎟
⎝ ⎠
=
∑
1 1
2 2
cosh 2 1
2 sinh 1
2 cosh
1 2
sinh 2
x x
nx
e e
n x
nx x
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎛ − ⎞ ⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ + ⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎞
⎝ ⎠
= ⎛ ⎞ ⎜⎝ ⎟⎠
⎜ ⎟
⎝ ⎠ On peut aussi tenir compte de :
1 1 1 1
sinh cosh sinh sinh
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1
sinh sinh
2 2 2
n n n n n n
x x x x x x
n x x
+ ⎡ + + ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎛ + ⎞+ ⎛ − ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
⎡ ⎛ + ⎞ ⎛ ⎞⎤
= ⎢⎣ ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠⎥⎦
Le résultat se récrit alors :
1 2 1 1 2 1
sinh sinh sinh sinh
1 1
2 2 2 2
cosh 1
1 2 2 1 2 1
sinh sinh sinh
2 2 2
n n n
x x x x
nx
x x x
+ + ⎛ + ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎝⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠⎠ ⎜⎝ ⎟⎠= ⎝ ⎛⎜⎝⎠ ⎞⎟⎠ ⎝ ⎠= ⎜⎜⎜⎝ ⎝ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ⎠+ ⎟⎟⎟⎠
PanaMaths Septembre 2011
On aurait également pu écrire :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
0
1 2 3
1
1 1
1 2 2
2
1 1
1 2 2
2
cosh cosh 0 cosh cosh 2 cosh 3 ... cosh
1 1 ... 1 ...
2 1 1
2 1
2 2
1 1 2
2 2
n
k
n x
nx x x x x nx
n x
nx x
n x n x
x
x x
x
kx x x x nx
e e e e e e e
e e
e
e e
e
e e
e
=
− − − −
− +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− +⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ + ⎟⎠
−
= + + + + +
= + + + + + + + + + +
⎛ − ⎞
= ⎜⎜⎝ + − ⎟⎟⎠
⎡ ⎛ ⎞
−
⎢ ⎜ ⎟
⎢ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢ ⎝ ⎠
= ⎢ +
⎛ ⎞
⎢ ⎜ − ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎣
∑
sinh 1 1 2
1 1
2 sinh
2
n x
x
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎦
⎛ ⎛⎛ + ⎞ ⎞⎞
⎜ ⎜⎝⎜⎝ ⎟⎠ ⎟⎠⎟
⎜ ⎟
= +
⎜ ⎛ ⎞ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎝ ⎠ ⎟
⎝ ⎠
On retrouve ainsi le résultat obtenu précédemment.
Résultat final
Si x=0, on a :
( )
0
cosh 1
n
k
kx n
=
∑
= +Si x≠0, on a :
( )
0
1 2 1
sinh sinh
2 1 2
cosh cosh 1
1 2 2 1
sinh sinh
2 2
n
k
n n
x x
kx nx
x x
=
+ ⎛ + ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎝ ⎠ ⎜ ⎝ ⎠ ⎟
= ⎛ ⎞ ⎜⎝ ⎟⎠= ⎜ ⎛ ⎞ + ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠
