PanaMaths Septembre 2011
Résoudre :
1x
1
xx x
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
=
Analyse
On doit bien sûr avoir x non nul. Pour x>0 on peut utiliser les écritures exponentielles.
Mais ne doit-on pas également réfléchir à d’éventuelles solutions négatives ?
Résolution
Pour tout réel x strictement positif, on a :
1
1ln ln 1
2
1
1ln ln
1 1
ln 0 ln 0 ln 0
1
x x
x x x x
x x
e e x x x
x
x x x x x
x x
x
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
= ⎜ ⎟⎛ ⎞
⎝ ⎠
⇔ = ⇔ = −
⎛ ⎞ +
⇔⎜⎝ + ⎟⎠ = ⇔ = ⇔ =
⇔ =
Nous obtenons ainsi la seule solution strictement positive de l’équation.
Si l’on cherche maintenant une solution strictement négative, la seule présence de
1
xx nous impose de restreindre x à _∗− sans quoi cette expression ne serait pas définie. Pour x dans _∗− , le second membre 1 x
x
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠ peut alors lui aussi être défini (même si ce n’est pas pour toute valeur de x).
Posons alors p
x= q avec p entier strictement négatif, q entier strictement positif et p et q premiers entre eux.
PanaMaths Septembre 2011
Il vient :
2 2 2 2 2 2
1 1
1
x x
p q p q
q p q p
p q p q
q p q p p q
x x
p q p q
q p q p
p q p p p
q p q q q
× ×
− +
= ⎜ ⎟⎛ ⎞
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎛ ⎞ ⎟ ⎜⎛ ⎞ ⎟
⇔⎜ ⎟⎝ ⎠ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⇔⎜⎜⎝⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎟⎠ =⎜⎜⎝⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎟⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇔⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⇔⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⇔⎜ ⎟ =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ainsi, on a nécessairement p 1
x= q = − (rappelons que nous travaillons dans _∗−), soit, avec nos notations p= −1 et q=1. D’où p2+q2= −
( )
1 2+ = + =12 1 1 2 et( )
2 2
1 2 1
p q
p q
⎛ ⎞ + = − =
⎜ ⎟⎝ ⎠ . L’équation est bien vérifiée. −1 est solution.
Résultat final
L’équation
1 1 x
xx
x
= ⎜ ⎟⎛ ⎞
⎝ ⎠ admet donc comme solutions : −1 et 1.
