Résolution Analyse Démontrer que ces fonctions sont polynomiales. xnxnxxx =Φ=− coshargcoshsinhargcosh1 n , on pose : Pour tout entier naturel

PanaMaths Septembre 2012

Pour tout entier naturel n, on pose :

( ) ( )

( ) ( )

2

cosh argcosh sinh argcosh

1

n

n

x n x

n x

x x

ϕ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= Φ =

−

Démontrer que ces fonctions sont polynomiales.

Analyse

Un calcul classique dans lequel la définition du cosinus hyperbolique permet de se ramener à des sommes de termes consécutifs de suites géométriques.

Résolution

La démonstration se fait par récurrence. Nous allons mener les deux récurrences

simultanément mais dans un premier temps, nous validons le résultat pour quelques valeurs de l’entier n.

( )

0 x cosh 0 1

ϕ = = , fonction polynôme constante.

( ) ( ( ) )

1 x cosh 1 arg cosh x x

ϕ = × = , fonction polynôme identité.

( ) ( ( ) )

( ( ) )

2 x cosh 2 arg cosh x 2 cosh arg cosh x 1 2x 1

ϕ = × = − = − , fonction polynôme de

degré 2.

0

( )

sinh 0 0 1 x

x

Φ = =

− , fonction polynôme constante.

( ) ( ( ) ) ( ^{( )} )

1 2 2

sinh 1 arg cosh sinh arg cosh

1 1

x x

x

x x

Φ = × =

− −

Comme ^{arg cosh}

( )

( ( )

)

( ( ) )

( ( ) )

sinh arg cosh x = cosh arg cosh x − =1 x −1

D’où :

( ) ( ( ) )

1 2 2

sinh arg cosh 1

1

1 1

x x

x

x x

Φ = = − =

− − , fonction polynôme constante.

PanaMaths Septembre 2012

( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )

2 2 2 2

sinh 2 arg cosh 2 sinh arg cosh cosh arg cosh 2 1

1 1 1

2

x x x x x

x

x x x

x

× × × × − ×

Φ = = =

− − −

=

On obtient encore une fonction polynôme (fonction linéaire).

Soit maintenant n un entier naturel quelconque fixé.

Nous supposons que les fonctions ϕ_n et Φ_n sont des fonctions polynômes.

Intéressons-nous aux fonctions ϕ_n+1 et Φ_n+1. Pour tout x réel supérieur strictement à 1, on a :

( ) ( ( ) ( ) )

( ( ) ) ( ^{( )} ) ( ^{( )} ) ( ^{( )} )

( ) ( )

( ) ( ) ^{( )}

1

2 2

2

cosh 1 arg cosh

cosh arg cosh cosh arg cosh sinh arg cosh sinh arg cosh

1 1

1

n

n n

n n

x n x

n x x n x x

x x x x x

x x x x

ϕ

ϕ ϕ

+ = +

= × + ×

= × + − ×Φ × −

= + − Φ

On note également que cette égalité reste valable pour x=1 puisque :

• ϕ_n

( )

( )

( )

• La fonction Φ_n est prolongeable par continuité en 1 en tant que fonction polynôme. Il en découle : ^lim_x→₁+⎡⎣

(

)

^{( )}

Comme les fonctions ϕ_n et Φ_n sont des fonctions polynômes, l’égalité

( ) ( ) (

) ^{( )}

1 1

n x x n x x n x

ϕ ₊ = ϕ + − Φ nous permet de conclure qu’il en va de même pour la fonction ϕ_n+1.

Pour tout x réel supérieur strictement à 1, on a :

( ) ( ( ) ( ) )

( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )

( ) ( )

( ) ( )

1 2

2

2 2

2

sinh 1 arg cosh 1

sinh arg cosh cosh arg cosh cosh arg cosh sinh arg cosh 1

1 1

1

n

n n

n n

n x

x

x

n x x n x x

x

x x x x x

x

x x x

ϕ ϕ

+

Φ = +

−

× + ×

= −

− ×Φ × + × −

= −

= Φ +

Comme les fonctions ϕ_n et Φ_n sont des fonctions polynômes, l’égalité

( ) ( ) ( )

1

n₊ x x n x ϕn x

Φ = Φ + nous permet de conclure qu’il en va de même pour la fonction

n+1

Φ .

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Résultat final

Pour tout entier naturel n, les fonctions :

[ [

( ( ) )

1 ;

: cosh arg cosh

n x n x

ϕ ^⎧⎪_⎨ ^{+ ∞ → +}

⎪⎩

\

6 et

] [

( ( ) )

2

1 ;

: sinh arg cosh 1

n n x

x

x

⎧ + ∞ → +

Φ ⎨⎪

⎪ −

⎩

\ 6

sont polynomiales.

Compléments

Nous fournissons ci-dessous les courbes représentatives dans un repère orthogonal des fonctions ϕ₁, ϕ₂, ϕ₃, Φ₁, Φ₂ et Φ₃.