PanaMaths Septembre 2010
Résoudre :
2
1 4
n ≡ −
⎡ ⎤⎣ ⎦Analyse
Puisque nous devons raisonner modulo 4, il semble « naturel » de travailler dans l’ensemble ] ]/4 …
Résolution
Notons o2
n
•
, dans
] ]/4 , la classe d’équivalence de l’entier n2. On a : o2 2
n n
• = ⎜ ⎟⎛ ⎞•
⎝ ⎠ . Or, on a les équivalences :
[ ] [ ]
o 22 2 2
1 4 3 4 3 3
n n n n
• • ⎛ ⎞• •
≡ − ⇔ ≡ ⇔ = ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠ =
Comme ] ]/4 =
{ }
0, 1, 2, 3• • • • on a les quatre calculs suivants : o
o
o
2 2
2 2
2 2
2 2
0 0 0
1 1 1
2 2 4 0
3 3 9 1
• • •
• • •
• • • •
• • • •
⎛ ⎞ = =
⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ = =
⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ = = =
⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ = = =
⎜ ⎟⎝ ⎠ On ne peut donc obtenir 3
•
: l’équation n’admet pas de solution.
Résultat final
L’équation n2 ≡ −1 4
