PanaMaths Septembre 2012

PanaMaths Septembre 2012

Résoudre :

( ) ¹

argcosh argsinh

x =

x − 2

Analyse

On doit bien sûr tenir compte des domaines de définition des fonctions argcosh et argsinh.

L’équation se résout alors en utilisant les expressions des arguments des fonctions cosinus et sinus hyperboliques à l’aide du logarithme népérien.

Résolution

La fonction argcosh est définie sur l’intervalle

[

[

[

[

En exprimant alors les arguments à l’aide de la fonction logarithme népérien, on a :

( )

(

)

2 2

2 2

arg cosh arg sinh 1 2 1

1 1

ln 1 ln 1

2 2

1

1 1

1 1

2 2

1

1 1

1 1

2 2

x x

x

x x x x

x

x x x x

x

x x

⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠

⎧ ≥

⎪⎪ ⎛ ⎞

⇔ ⎨⎪⎪⎩ + − = ⎜⎜⎝ − + ⎛⎜⎝ − ⎞⎟⎠ + ⎟⎟⎠

⎧ ≥

⇔ ⎨⎪⎪⎩ + − = − + ⎛⎜⎝ − ⎞⎟⎠ +

⎧ ≥

⇔ ⎨⎪⎪⎩ − = − + ⎛⎜⎝ − ⎞⎟⎠ +

Résolvons

2

2 1 1

1 1

2 2

x+ x − = − +x ⎛⎜⎝x− ⎞⎟⎠ + .

PanaMaths Septembre 2012

On a :

2 2

2 2 2

2 2

2

2

1 1

1 1

2 2

1 1

1 1

2 2

1 1 1

1 1 1

4 2 2

x x

x x

x x x

x

⎛ ⎞

− = − + ⎜⎝ − ⎟⎠ +

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

⎜ ⎟

⇒ − = − +⎜⎝ ⎜⎝ − ⎟⎠ + ⎟⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇔ − = − ⎜⎝ − ⎟⎠ + +⎜⎝ − ⎟⎠ +

⇔

2

5 1 2

4 ⎛x 2⎞ 1 x

− = − ⎜⎝ − ⎟⎠ + +

2

2 2

2

1 1 4

5 1

2 2 1

5 0

2

5 1

2 2 1

5 0

2

x

x x

x

x x

x x

− + +

⎛ ⎞

⇔ − = − ⎜⎝ − ⎟⎠ +

⎧ − ≤

⇔ ⎨⎪⎪

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎪ −⎜ ⎟ =⎜ − ⎟ +

⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎩

− ≤

⇔

25 2

5x 4 x

− + = 1

4 1

5 0

2 5 4 5 4

x x

x x

⎧⎪⎪

⎨⎪ − + +

⎪⎩

⎧ − ≤

⇔ ⎨⎪

⎪ =⎩

⇔ =

On vérifie que pour 5

x= 4 on a bien

2

2 1 1

1 1

2 2

x − = − + ⎛⎜⎝x− ⎞⎟⎠ + . Comme, de surcroît, on a : 5

4≥1, il vient : ^{arg cosh}

( )

2 4

x = ⎛⎜⎝x− ⎞⎟⎠⇔ =x .

Résultat final

L’équation ^{arg cosh}

( )

x = ⎛⎜⎝x−2⎞⎟⎠ admet pour unique solution 5 x=4.