PanaMaths Septembre 2012
Déterminer la dérivée et étudier les variations de la fonction f définie sur par :
( )
224 4
3 4 4
x x
f x x x
= − + + +
Analyse
Une application directe du cours : dérivation d’une fonction rationnelle (donc dérivation d’un rapport de deux fonctions) puis étude du signe de la dérivée pour obtenir les variations.
Résolution
On dérive classiquement cette fonction rationnelle comme un rapport.
En posant u x
( )
= x2−4x+4 et v x( )
=3x2+4x+4, on a facilement :( ) ( )
' 2 4 1 0 2 4 2 2
u x = x− × + = x− = x−
( ) ( )
' 3 2 4 1 0 6 4 2 3 2 v x = × x+ × + = x+ = x+
On en tire :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2
2 2
3 2 3 2
2 2
2 2 2
2 2 2
' '
'
2 2 3 4 4 4 4 2 3 2
3 4 4
3 2 4 8 3 10 4 8
2
3 4 4
8 8 16
2
3 4 4
16 2
3 4 4
u x v x u x v x f x
v x
x x x x x x
x x
x x x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
× − ×
=
− × + + − − + × +
= + +
− − − − − + +
= + +
− −
= + +
= − −
+ +
Pour tout x réel :
( )
( )
2 2 2
' 16 2
3 4 4
x x f x
x x
= − −
+ + .
PanaMaths Septembre 2012
On a :
( )
( )
2 2 2
, ' 16 2
3 4 4
x x
x f x
x x
∀ ∈ = − −
+ + . Le dénominateur de la fraction
( )
2 2 2
2
3 4 4
x x
x x
− −
+ + est strictement positif en tant que carré non nul.
Le signe de f '
( )
x est donc celui de x2− −x 2.Le discriminant Δ associé à ce trinôme s’écrit : Δ = −
( )
1 2− × × − = + =4 1( )
2 1 8 9. L’équation x2− − =x 2 0 admet donc deux racines :( )
1
1 9 1 3 2
2 1 2 2 1
x = − − − = − = − = −
( )
×1
1 9 1 3 4
2 1 2 2 2
x =− − + = + = =
×
Comme le coefficient de « x2 » dans x2− −x 2 est positif et que l’on a x1<x2, il vient :
• Si x∈ −∞ −
]
; 1[ ]
∪ 2 ;+ ∞[
alors f'( )
x >0.• f'
( )
x1 = f '( )
x2 =0.• Si x∈ −
]
1 ; 2[
alors f '( )
x <0.Il en découle finalement :
La fonction f est strictement croissante sur les intervalles
]
−∞ −; 1]
et[
2 ;+ ∞[
.La fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle
[
−1 ; 2]
.Compléments
Nous fournissons ci-après la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.
