PanaMaths Septembre 2017

PanaMaths Septembre 2017

Soit a un réel strictement positif.

Nature de ∑ u

_n

^{où :}

sin

2

u

n ^⎛_⎜

π n a

^⎞_⎟

⎝ ⎠

= +

Analyse

La présence du facteur π dans le sinus nous conduit, dans un premier temps, à factoriser la racine carrée pour ensuite effectuer un développement limité de u_n…

Résolution

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

(

²

)

^{2 2 12}

sin sin 1 sin 1

n

a a

u n a n n

n n

π ^⎛ π ^{⎞ ⎛⎜} π^{⎛ ⎞ ⎞⎟}

= + = ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠= ⎜⎝ ⎜⎝ + ⎟⎠ ⎟⎠

Pour fixer les idées, nous commençons par un développement limité d’ordre réduit :

( ) ( )

1 2

2 2 2

1 1

sin 1 sin 1 o sin o

2 2

1 1

1 sin o 1 o

2 2

n

n n

a a a

u n n n

n n n n n

a a

n n n n

π π π π

π π

⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎞⎞⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞

⎜ ⎟

= ⎜⎝ ⎜⎝ + ⎟⎠ ⎟⎠= ⎜⎝ ⎜⎝ + + ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠⎟⎠= ⎜⎝ + + ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠

⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞

= − ⎜⎝ + ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠= − + ⎜ ⎟⎝ ⎠

La série

( )

¹

2

na n

− π

∑

est une série alternée vérifiant le critère spécial des séries alternées. Elle converge donc. Malheureusement, nous n’avons aucune précision quant au « 1

o n

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ ».

Il nous faut donc « pousser » notre développement limité.

PanaMaths Septembre 2017

( )

( ) ( ) ( )

1 2

2

2 2 4 2

2 2

3 3 3 3

2 3 3 2

1

3 3 3

sin 1 sin 1 o 1

2 8

1 1

sin o 1 sin o

2 8 2 8

1 6

1 o 1 1

2 8 48 2

n

n

n n n

a a a

u n n

n n n n

a a a a

n n n n n n n

a a a a a

n n n n n

π π

π π π π

π

π π π π + π

⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎞⎞⎞

⎜ ⎟

= ⎜⎝ ⎜⎝ + ⎟⎠ ⎟⎠= ⎜⎝ ⎜⎝ + − + ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠⎟⎠

⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞

= ⎜⎝ + − + ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠= − ⎜⎝ − + ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠

⎛ ⎛ ⎞⎞ +

= − ⎜⎝ − − + ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠= − + −

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

3 3

2 2

1

3 3

o 1 48

1 1 6

2 48

n n

a

n n

a a n

a

n n n

π

π π ε

π ⁺

⎛ ⎞ + ⎜ ⎟⎝ ⎠

= − + − + +

avec : ^lim

( )

⁰

n ε n

→+∞ = .

Comme nous l’avons vu précédemment, la série

( )

¹

2

na n

− π

∑

est convergente.

Par ailleurs, la série

( )

^{1 2}

(

²

)

3

1 6

48

n a a

n

π π

+ +

∑

− est alternée. Or, elle vérifie également le critère spécial des séries alternées. Elle est donc convergente. Notons, en passant, que nous pouvions simplement conclure à la convergence absolue de cette série.

Enfin, comme ^lim

( )

⁰

n ε n

→+∞ = , on a, à partir d’un certain rang :

( )

3 3

n 1

n n

ε ≤ . Comme la série

3

1

∑

n est une série de Riemann convergente, on en conclut finalement que la série

( )

3

n n

∑

ε est absolument convergente et donc convergente.

D’après ce qui précède, on peut finalement conclure que la série

∑

u_n est convergente.

Résultat final

La série

^∑

^sin

(

^{π n2+a}

)

est convergente.