PanaMaths Septembre 2013
Soit la suite ( ) u
ndéfinie par :
0 1
1
n
1
n
u
u
+u
⎧⎪⎨
⎪⎩
=
= +
Montrer que pour tout n entier naturel, u
nest inférieur ou égal à 2.
Analyse
Une récurrence très simple qui permet d’établir que la suite
( )
un est majorée (par 2).Résolution
Pour tout n entier naturel, on pose :
P
n : « un ≤2 » InitialisationPour n=0, on a : u0= ≤1 2. La propriété
P
0 est donc vraie.Hérédité
Soit N un entier naturel quelconque fixé.
On suppose
P
N vraie, c'est-à-dire : uN ≤2.On a donc : uN+ ≤ + =1 2 1 3, d’où, la fonction racine carrée étant strictement croissante sur
\+ : uN+ ≤1 3≤2. On a bien : uN+1≤2. Ainsi, la propriété
P
N+1 est vraie.Conclusion
La propriété
P
n est vraie pour tout entier naturel n.PanaMaths Septembre 2013
Résultat final
Pour tout entier naturel n : un ≤2.
