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Établir une relation de récurrence entreIn(t) etIn+1(t)

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Academic year: 2022

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(1)

Colle PCSI Semaine 7 2013-2014

EXERCICE 1 :

Montrer que pour toutx∈]0; 1[,

xx(1−x)1−x>1 2

EXERCICE 2 :

Résoudre l’équation 4x−3x−12 = 3x+12 −22x−1

EXERCICE 3 :

1. En utilisant une identité remarquable, simplifierp

1 + sin(2x) pourx∈R. 2. Déterminer

Z π/2

0

cos(x)−sin(x) p1 + sin(2x) dx.

EXERCICE 4 :

On pose, pour toutn∈N∗,In(t) =Z t 0

du

(1 +u2)n ,t∈R. 1. CalculerI1(t).

2. Établir une relation de récurrence entreIn(t) etIn+1(t).

3. CalculerI2(t).

EXERCICE 5 :

Soitf définie surR∗+ parf(x) =Z x2 x

dt tet. 1. PosonsGune primitive deg:t7−→ 1

tet. Donner une relation entref et G.

2. En déduire la dérivée def. 3. Montrer quef(x) −→

x→+∞0 (on utilisera un théorème de comparaison).

4. Montrer quef(x) −→

x→0+

−∞(on utilisera un autre théorème de comparaison).

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