Expression du terme de rang n d’une suite récurrente
On peut conjecturer que le nuage de points donnantun en fonction denest une parabole. La fonctionf telle queun =f(n) est donc du typef(x) =ax2+bx+c.
On peut relever sur le tableau desun que :
f(0) = 0 f(12) = 0 f(1) =−11
Des deux premières égalités on tire facilement quef(x) =a(x−0) (x−12)⇒f(x) =ax2−12ax Puisf(1) =−11 ⇒a−12a=−11
⇒ −11a=−11
⇒a= 1
D’oùf(x) =x2−12x
On peut vérifier quef(8) =−32
On obtient doncun=n2−12nqu’on peut démontrer par récurrence.
Soit(Pn)la proposition :un=n2−12n Initialisation: u0= 0doncP0est vraie.
Hérédité: SupposonsPn vraie, c’est à dire.un=n2−12net démontrons que Pn+1 est vraie, c’est à dire :un+1= (n+ 1)2−12 (n+ 1) =n2−10n−11
On a alors
un+1=un+ 2n−11
un=n2−12n ⇒un+1=
n2−12n
+ 2n−11doncun+1=n2−10n−11
Qui prouve bien quePn+1 est vraie.
La propriété est vraie pourn= 0.
La supposant vraie pournon montre qu’elle l’est encore purn+ 1. D’après l’axiome de récurrence elle est donc vraie pour toutn≥0.
Comportement d’une suite définie par une relation de récurrence
1. Il semble que, quelle que soit la valeur dev0,la suitye(vn)converge vers 4. Remarquons qu’il s’agit d’une converge avec oscillations.
2. Il semble que la suite (wn) soit géométrique de raison −1
2 . Remarquons d’ores et déjà que la raison étant strictement inférieure à 1, la suite(wn)convergera vers 0 et donc sivn−4tend vers0, vn tend vers 4.
3.a.∀n∈N, wn=vn−4⇒vn=wn+ 4 et doncvn+1 =wn+1+ 4
On a donc :∀n∈N,
vn+1=−1 2vn+ 6 vn=wn+ 4
⇒wn+1+ 4 = −1
2 (wn+ 4) + 6 On obtient donc en développant :wn+1=−1
2wn qui prouve le résultat attendu.
3.b.On a doncwn=w0
−1 2
n
= (v0−4) −1
2
n
et vn= (v0−4) −1
2
n
+ 4
3.c.Sachant que lim
n→+∞
−1 2
n
= 0, on a , quel que soitv0 : lim
n→+∞(v0−4) −1
2
n
= 0 Et donc lim
n→+∞vn= 4
1
