226 – Comportement d’une suite réelle ou vectorielle définie par une itération u
n+1=ffff(u
n). E.
Le plan :
I) Suites récurrentes numériques.
1) Monotonie et convergence.
Propriété de monotonie de la suite selon la monotonie de f. Convergence vers un point fixe.
Absence de point fixe : exemple. Répulsion/attraction.
2) Exemples d’études de suites réelles.
Exemple : un+1=1/6.(un²+8), vn+1=-2vn+2.
3) Suites homographiques.
Nombre de points fixes. Etude de cas. Etude dans P1(C).
II) Théorème du point fixe. Applications.
1) Banach-Picard.
Cas compact, théorème.
2) Exemple.
Approximation d’irrationnels. Approximation de Héron de √a. Convergence linéaire.
Approximation de √3, convergence quadratique.
3) Recherche d’extrema.
Direction de descente stricte. Algorithme du gradient à pas fixe. Théorème de convergence.
III) Approximation de solutions d’équations.
1) Systèmes linéaires Ax=b.
Cas général. Méthodologie générale. Méthode de Jacobi et Gauss-Seidel. Convergence.
2) Résolution de F(X)=0.
Méthode de Newton. Cas des polynômes. Remarques.
Les développements :
B15 : Méthode de Newton pour les polynômes B23 : Méthode du gradient à pas fixe
B24 : Convergence de la méthode de Gauss-Seidel La bibliographie :
[Fil]-[CL2]-[Go2]-[Vid]-[Mo1]-[Cia]
