226 – Comportement d’une suite réelle ou vectorielle définie par une itération un+1

226 – Comportement d’une suite réelle ou vectorielle définie par une itération u

=ffff(u

). E.

Le plan :

I) Suites récurrentes numériques.

1) Monotonie et convergence.

Propriété de monotonie de la suite selon la monotonie de f. Convergence vers un point fixe.

Absence de point fixe : exemple. Répulsion/attraction.

2) Exemples d’études de suites réelles.

Exemple : un+1=1/6.(un²+8), vn+1=-2vn+2.

3) Suites homographiques.

Nombre de points fixes. Etude de cas. Etude dans P¹(C).

II) Théorème du point fixe. Applications.

1) Banach-Picard.

Cas compact, théorème.

2) Exemple.

Approximation d’irrationnels. Approximation de Héron de √a. Convergence linéaire.

Approximation de √3, convergence quadratique.

3) Recherche d’extrema.

Direction de descente stricte. Algorithme du gradient à pas fixe. Théorème de convergence.

III) Approximation de solutions d’équations.

1) Systèmes linéaires Ax=b.

Cas général. Méthodologie générale. Méthode de Jacobi et Gauss-Seidel. Convergence.

2) Résolution de F(X)=0.

Méthode de Newton. Cas des polynômes. Remarques.

Les développements :

B15 : Méthode de Newton pour les polynômes B23 : Méthode du gradient à pas fixe

B24 : Convergence de la méthode de Gauss-Seidel La bibliographie :

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