la suite définie par

Term spé

LE RAISONNEMENT PAR RECURRENCE.

Soit ( ) ^u

la suite définie par

 

 u

3

u

2u

1 .

1. Calculer u

et u

. Vérifier que u

, u

et u

sont supérieurs à 1.

2. Sans calculer u

, expliquer pourquoi u

est supérieur à 1.

3. Expliquer pourquoi u

1

4. On va démontrer de façon rigoureuse que, pour tout n de , u

1. Pour cela, on utilise une démonstration par récurrence :

L’idée est d’imaginer une cascade de dominos.

Pour pouvoir faire tomber tous les dominos :

• Il faut que le premier domino tombe

• Il faut s’assurer que si un domino tombe, alors le suivant tombe

Avec ces deux conditions, nous sommes sûrs que tous les dominos vont tomber.

Cette représentation se traduit par l’axiome de récurrence :

Si une propriété P

est vraie pour un entier n

et s’il est prouvé que lorsqu’elle est vraie pour un entier p supérieur ou égal à n

, elle est vraie pour l’entier p + 1, alors elle est vraie pour tous les entiers supérieurs ou égaux à n

.

Une démonstration par récurrence se fait donc en trois étapes :

Initialisation : On vérifie que la propriété est vraie pour l’entier n ₀ (le premier pour lequel on veut prouver la propriété. C’est généralement 0 ou 1).

Hérédité : On considère un entier p pour lequel la propriété est vraie ( p n

) et on prouve qu’elle est alors vraie pour l’entier p + 1.

Conclusion : Lorsqu’on a démontré que la propriété est initialisée et héréditaire, alors on en conclut qu’elle est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n 0 .

Exemple 1.

Un opérateur de téléphonie mobile constate que, chaque année, il perd 8% de ses précédents abonnés et que, par ailleurs, il gagne 3 millions de nouveaux abonnés.

En 2013 le nombre d’abonnés est de 20 millions.

On suppose que cette évolution se poursuit de la même façon et on note u

le nombre d’abonnés, en millions, pour l’année 2013 n .

1. Pour tout entier naturel n, exprimer u

en fonction de u

.

2. Montrer par récurrence que la suite ( ) ^u

est croissante et que, pour tout n de , u

37,5.

Exemple 2.

On considère la suite ( ) ^u

définie pour tout n de * par u

1

2 et u

u

1

(n 1)(n 2) .

1. Calculer les 5 premiers termes de la suite et conjecturer une expression de u

en fonction de n.

2. Prouver votre conjecture à l aide d un raisonnement par récurrence.

Exemple 3.

Montrer que pour tout entier n non nul, 

k 1 n

k² = n (n 1)(2n 1) 6

Pour vous entraîner : ex 80 et 82 page 172.