() () () LES SUITES.

LES SUITES.

Tous les théorèmes et propriétés sont admis.

I. Suites géométriques.

1. Définition, variations.

Voir le rappel de cours de première.

2. Somme des termes d une suite géométrique.

Propriété : Soit q un réel différent de 1 et n un entier naturel non nul. Alors on a : 1 q q² q

... q

... .

Exemples : 1 1 3  

  1 3

2

...  

  1 3

8

1 2 4 8 ... 2048

Application : ( ) ^u

est la suite géométrique de raison 3 et de 1er terme u

= 2.

Calculer u

u

u

…. u

. u

u

u

…. u

Conséquence : ( ) ^u

est une suite géométrique de raison q avec q ≠ 1.

Alors S

u

u

u

… u

et si m et n sont deux entiers avec n m : u

u

u

... u

Exemple :

Chaque mois, un investisseur injecte du capital pour dynamiser une entreprise. De 50 000 en janvier 2015, le capital injecté diminue chaque mois de 20%. On note u

le capital injecté le n

moi.

1. Donner u

et u

.

2. Quelle est la nature de la suite ( ) ^u

? 3. Exprimer u

en fonction de n.

4. Quel sera, à l euro près, le capital injecté en janvier 2016 ? 5. Quel sera, à l euro près, le capital injecté en 2015 ?

6. Quel sera, à l euro près, le capital injecté en 2016 ?

3. Limite de la suite ( ) q

, q 0.

a. Notion de limite.

Etudier la limite d une suite ( ) ^u

, c est se demander ce que deviennent les nombres u

lorsque n prend des valeurs très grandes ("vers + "). Plus précisément, c est se poser les questions suivantes :

- les nombres u

finissent-ils par s accumuler près d un nombre fixe ?

- les nombres u

finissent-ils par dépasser n importe quel nombre aussi grand que l on veut ? Exemple 1 : Soit la suite u définie pour n 1 par u

= 1

n .

On a u

= ... u

= ... u

= ... … On voit que les termes de la suite se rapprochent de ...

On dit alors que la suite (u

) a pour limite ... quand n tend vers + . On note ...

Exemple 2 : Soit la suite u définie pour n 0 par

 

 u

1 u

1

4 u

3.

On complète le tableau suivant (à 10

près) :

n 1 2 3 4 5 6 10 15 20

u

On voit que les termes de la suite se rapprochent de ...

On dit alors que la suite (u

) a pour limite ... quand n tend vers + . On note ...

Exemple 3 : Soit la suite u définie pour n 1 par u

n².

On a u

= ... u

= ... u

= ...

On voit que les termes de la suite finissent par être ...

On dit alors que la suite (u

) a pour limite ... quand n tend vers + . On note ...

De la même façon, lim

n

n² .

b. Limite de la suite ( ) ^q

^{, q 0.}

A l aide d un tableur, on fait afficher les termes successifs et la représentation graphique des suites de la forme u

q

(avec q 0) suivantes :

Exemple 1 : q ...

u

... ; u

... ; u

... ; u

... ;

Exemple 2 : q ...

u

... ; u

... ; u

... ; u

... ;

Exemple 3 : q ...

u

... ; u

... ; u

... ; u

... ;

Exemple 4 : q ...

u

... ; u

... ; u

... ; u

... ;

Exemple 5 : q ...

u

... ; u

... ; u

... ; u

... ;

Théorème : q est un réel.

Si ... : lim

n

q

...

Si ... : lim

n

q

...

Si ... : lim

n

q

...

Exemples : lim

n

n

………..

lim

n

 

  1 3

n

………

Propriétés : a et b sont des réels (pas + ou ) non nuls.

si lim

n

un a et lim

n

v

b : lim

n

u

v

a b.

si lim

n

un a et lim

n

v

b : lim

n

u

v

a b.

si lim

n

un a ou + et lim

n

v

+ : lim

n

u

v

+ . si lim

n

un a > 0 et lim

n

v

+ : lim

n

u

v

+ . si lim

n

un a < 0 et lim

n

v

+ : lim

n

u

v

.

Exemple :

Soit ( ) ^u

une suite géométrique de premier terme 3 et de raison 2.

Exprimer u

en fonction de n puis déterminer la limite de la suite ( ) ^u

^.

Application :

On reprend l application du bas de la page 1.

1. Donner la limite de la suite ( ) ^u

et l interpréter.

2. Exprimer en fonction de n le montant total investi au bout de n mois et déterminer sa limite.

Interpréter.

II. Suites arithmético-géométriques.

1. Définition.

Définition : Une suite arithmético-géométrique est une suite ( ) ^u

définie par la donnée de u

et par la relation de récurrence u

au

b où a et b sont des nombres réels donnés.

Exemple : Soit u la suite définie par u

10 et u

0,5u

3.

1. Calculer à la main u

; u

et u

.

2. Faire afficher à la calculatrice le tableau de valeurs de la suite ( ) ^u

. Conjecturer les variations et

la limite de la suite.

2. Etude d une suite arithmético-géométrique. Exemple à savoir refaire.

Pour l étude d une suite arithmético-géométrique, on se ramène à une suite géométrique.

Exemple : Un journal possédait 5 000 abonnés en 2 013. Chaque année, il perd 30% de ses abonnés de l année précédente, mais regagne dans le même temps 600 nouveaux abonnés. Pour tout entier naturel n, on note u

le nombre d abonnés, en centaines, en 2013 n .

1. Calculer le nombre d abonnés en 2 014 et en 2 015.

2. Exprimer u

en fonction de u

.

3. A la calculatrice, conjecturer la limite de la suite ( ) ^u

. Pour tout entier naturel n, on pose v

u

20.

4.

a. Calculer v

; v

; v

. Que peut-on conjecturer pour la suite ( ) ^v

^?

b. Montrer que la suite ( ) ^v

est géométrique et préciser sa raison.

c. Exprimer v

en fonction de n.

5. Exprimer u

en fonction de n.

6. Déterminer la limite de la suite ( ) ^u

. Interpréter.