1S/Td A92 Suites.doc.1
Suites
Exercice 1
Une voiture perd chaque année 10 % de sa valeur marchande. Soit P le prix d'achat de cette voiture. Soit sa valeur au bout de n années. vn
1) Définir la suite
(
vn)
par récurrence.2) Exprimer vn en fonction de n.
Exercice 2
Une congère évolue, depuis la fin de l'hiver 1980, de la façon suivante :
Chaque été, la fonte des neiges lui fait perdre un tiers de sa hauteur et chaque hiver, elle est recouverte de 2 m de neige fraîche.
Soit hn la hauteur de la congère au bout de n années.
A la fin de l'hiver 1980, elle avait une hauteur de 2 m.
1) Définir la suite (hn) par récurrence.
2) Posons un = hn − 6. Définir la suite (un) par récurrence.
3) En déduireun, puis hn en fonction de n.
4) Donner une valeur approchée à 10 près par défaut de . −2 h5
Principe de récurrence
Si deux suites ont même premier terme, et même relation de récurrence, alors elles sont égales.
Exercice 3
Soit (Sn) la suite définie par Sn = + +1 2 …+n (n≥1) 1) Définir la suite (Sn) par récurrence.
2) Soit (un) la suite définie par ∀n≥1 un = 2
) 1 (n+
n .
Montrer que ( ) et ( ) ont même premier terme, et vérifient la même relation de récurrence.
Sn un
3) En déduire une formule explicite pour (Sn).
Exercice 4
Par une méthode analogue à celle employée dans l'exercice précédent, montrer que : 1) 1∀n≥1 2 + 22 +…+ n2 =
6
) 1 2 )(
1 (n+ n+
n .
2) 1∀n≥1 3 + 23 +…+ n3 = (1+2+...+n)2.
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1S/Td A92 Suites.doc.2
Suites Solutions
Exercice 1 1)
==
+ n
n v
v
P v
9 ,
1 0
0
2) vn = 0,9nP
Exercice 2 1)
+
=
=
+ 2
3 2
2
1 0
n
n h
h h
.
2)
=
−
=
+ n
n u
u u
3 2 4
1
0 .
3) un = − 4
n
3
2 . hn = − 4
n
3
2 +6.
4) h5 ≈-5,473251028807.
Exercice 3
1) .
= =+ +
+ 1
1
1
1 n
S S
S
n n
2) u1 =1 et un+1 − un =
2 ) 2 )(
1 (n+ n+
− 2
) 1 (n+
n =n+1.
3) Sn = 2
) 1 (n+
n .
Exercice 4
1) 1∀n≥1 2 + 22 +…+ n2 =
6
) 1 2 )(
1 (n+ n+
n .
2) 1∀n≥1 3 + 23 +…+ n3 = (1+2+...+n)2.
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