TS Équations différentielles (1) I. Introduction : relation liant une fonction et sa dérivée 1°) Exemple 1

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TS Équations différentielles (1)

I. Introduction : relation liant une fonction et sa dérivée 1°) Exemple 1

f :    xe^x

La fonction f est dérivable sur  et  x ^f'

 

^{x  f x}

  

^ex



^.

On dit que f vérifie l’équation différentielle y'y. (différentiel < dérivée)

2°) Exemple 2 a réel fixé

f :    xke^ax

La fonction f est dérivable sur  et  x  ^f'

 

^{x  k aeax}

Donc  x  ^f'

 

^x  ^{a f x}

 

On dit que f vérifie l’équation différentielle y'ay. II. Vocabulaire

1°) Définition

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I (souvent notée y) donnée sous la forme d’une égalité liant cette fonction et sa dérivée.

2°) Exemple

3 0

y'2y

Résoudre (ou intégrer) cette équation différentielle signifie déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur  telles que  x  '

 

³

 

0

f x 2f x  . f :

3

e2^x

x est une solution particulière.

2 3°) Cas simples

 y'3

Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions f définies sur  par ^{f x}

 

^3xk



^k



^.

 y'0

Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions f définies sur  par f x

 

k



^k



^.

 y'2x3

Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions f définies sur  par ^{f x}

 

^{x23xk}



^k



^.

III. Solutions particulières 1°) Exemple 1

2 7 2 2

y' y  x (E)

Démontrer que la fonction f définie sur  par ^{f x}

 

^{x2 x 3} est une solution particulière de (E).

La fonction f est définie et dérivable sur .

 x ^f'

 

^{x 2x1}

 x ^f'

 

^{x 2f x}

 

^{2x 1 2x22x6}

 7 2x²

Donc la fonction f est une solution particulière de (E).

2°) Exemple 2 1 y'y x (E)

f est la fonction définie sur  par ^{f x}

 

^2x1.

La fonction f est-elle une solution particulière de (E) ?

La fonction f est définie et dérivable sur  (car c’est une fonction affine).

 x ^f'

 

^{x 2}

Par conséquent,  x ^f'

 

^x ^{f x}

 

 ^{2 2x}¹ 1 2x  Donc la fonction f n’est pas solution particulière de (E).

(En effet, deux fonctions polynômes sont égales si et seulement si elles ont le même degré et les monômes de même degré sont égaux).

3 IV. Équations différentielles de la forme y = ay (a : réel fixé)

1°) Théorème fondamental

Les solutions de l’équation différentielle 'y ay ( a) sont les fonctions f définies sur  par

 

e^ax

f x k



^k



^.

2°) Exercice

Résoudre (intégrer) l’équation différentielle ' 2y y0 (E).

Rédaction-type :

(E) s’écrit 'y 2y.

On reconnaît une équation différentielle de la forme y'ay avec a2.

D’après le théorème fondamental, les solutions de (E) sont les fonctions f définies sur  par ^{f x}

 

^ke2x



^k



.

On obtient un réseau de courbes intégrales.



i

j

O

3°) Démonstration (ROC) '

y ay (E)

On va faire dans les deux sens.

4 1^er sens : H1 f est la fonction définie sur  par f x

 

ke^ax (k)

C₁ Vérifions que f est solution de (E).

La fonction f est dérivable sur  et  x  ^f'

 

^{x  k aeax}

Donc  x ^f'

 

^x  ^{a f x}

 

2^e sens : H₂ On suppose que f est une fonction définie et dérivable sur  et que f est solution de (E).

C2 Démontrons que ^{f x}

 

^{keax (k}).

Astuce de départ : considérons la fonction g définie par ^{g x}

 

^{f x}

 

^eax.

On va démontrer que g est constante sur .

La fonction g est définie et dérivable sur .

 x ^{g x'}

 

^f'

 

^{x eaxf x}

 

^{ }



^aeax



Donc  x ^{g x'}

 

^eax



^f'

 

^{x af x}

  

Or d’après H , f est solution de (E). ₂ Donc  x  ^f'

 

^x ^{af x}

 

 x  ^f'

 

^x ^{af x}

 

⁰

On en déduit que  x ^{g x'}

 

^0.

Par conséquent, g est constante sur .

Il existe donc un réel k tel que  x  ^{g x}

 

^k. Donc  x ^{f x}

 

^{eaxk}

 x

 

e ^ax f x  _k

Donc  x ^{f x}

 

^keax

5 4°) Solution prenant une valeur donnée

 Propriété

Pour tout couple



x0;y0



de réels, il existe une unique fonction f solution de l’équation différentielle '

y ay telle que f x

 

0 y0.

 Interprétation graphique

Il existe une unique fonction f solution de l’équation différentielle dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées



x0;y0



.

 Démonstration

Les solutions de l’équation différentielle 'y ay (E) sont les fonctions f définies sur  par ^{f x}

 

^keax



^k



^.

 

0 0

f x y  ke^ax0y₀ 

0 0

e^ax k y

 ky₀e^ax0

Il existe une unique fonction f solution de (E) telle que ^{f x}

 

₀ ^y₀. L’expression de f est f x

 





y0e^ax0



e^axy0e^{a x x0}.

N.B. : Cette règle correspond aux « conditions initiales » en physique (t0).

V. Les équations différentielles en physique 1°) Écriture

'

y ay s’écrit d d

y ay

t (notation différentielle de LEIBNIZ) 2°) Exemple en radioactivité

N : nombre d’atomes qui restent

N dépend du temps t.

On admet que cette fonction t  ^{N t}

 

est dérivable.

6 On établit l’équation différentielle :

d d

N N

t    ( est la constante de radioactivité exprimée en s^1 si t est exprimé en s ainsi que le montre une analyse dimensionnelle)

dérivée de N par rapport à t (macroscopique : N

t N

   

 microscopique : d

d

N N

t    ) d

d

N N

t    est la loi de décroissance radioactive.

Mathématiquement : ^{N t'}

 

^{  N t}

 

N'  N

Les solutions de l’équation différentielle 'y   y sont les fonctions f définies sur  par ^{f t}

 

^{k et}



^k



^.

Donc, comme N vérifie cette équation différentielle, ^{N t}

 

^{ke t}



^k



. On note N₀ le nombre d’atomes à l’instant t0.

 

0 0

N N

On a donc ke^{ 0}N₀ donc k 1 N₀ d’où kN₀ On obtient N t

 

N0e^{ t} (loi de décroissance radioactive) Temps de demi-vie

Temps t_{1/ 2} au bout duquel il reste la moitié du nombre d’atomes initial Calculons t_{1/ 2}

 

⁰

2

N t N  N₀ e_{ }^t N⁰

 

2 (N₀0)  1

e 2

 t



 ^{ln e}



^{ t}



^{ln } ¹₂

      t ln 2  ln 2

t



7

1/ 2

t ln 2



t N

N₀

i j

O

1/ 2

t ln 2

 ⁰

2 N