Seconde 1 Chapitre 5 : équations. Page n ° 1 2007 2008
L'algèbre a été créée et développée par des mathématiciens de langue arabe pour résoudre des équations.
Elle fut reprise par des mathématiciens en Italie au XVIe siècle. A la fin du XVIIIe siècle, il fallait un seul livre à Lagrange pour faire le point des connaissances acquises en algèbre, et aujourd'hui plusieurs livres sont nécessaires. On est passé d'un problème comme " trouver un nombre dont le double du carré diminué de 5 fois lui-même fait 20 " à " résoudre l'équation 2x² − 5x = 20 ".
1 Définitions.
Une équation est une égalité dans laquelle figure une inconnue.
Résoudre une équation, c’est trouver les réels, s’ils existent, qui rendent vraie l’égalité.
Ces réels sont appelés solutions de l'équation.
Exemple : x2 − 3x = 0 est une équation. 4 est-il solution de cette équation ? 3 est-il solution de cette équation ? Voir feuille annexe.
A chaque fois que la consigne est " résoudre une équation " , il faut conclure à l'aide d'une phrase du type : L'ensemble des solutions est { … }. Ou bien L'équation n'a pas de solution.
E1 Savoir démontrer qu'un nombre est solution d'une équation. P 25 n ° 31 et n ° 33.
2 Résoudre une équation du type ax + b = 0.
x + a = b ⇔ x = b – a
Lorsqu’on ajoute ou que l’on retranche un même réel aux deux membres d’une équation, on obtient une équation qui a exactement les mêmes solutions.
Exemple : résoudre l'équation x + 5 = 7. Voir feuille annexe.
Si a est un nombre non nul alors a x = b ⇔ x = a b
Lorsqu’on multiplie ou que l’on divise par un même réel non nul, chaque membre d’une équation, on obtient une équation qui a exactement les mêmes solutions.
Exemple : résoudre l'équation 3x = 8. Voir feuille annexe.
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Cas particuliers : a = 0 on obtient 0 x = b
si b = 0 alors tout nombre réel est solution de l’équation. Donc l'ensemble des solutions est . si b ≠ 0 alors l’équation n’a pas de solution.
Exemple : résoudre l'équation 5x + 8 = 7. Voir feuille annexe.
E2 Savoir résoudre des équations du type ax + b = 0. P 33 n ° 139 et n ° 140.
3 Equation du type x² = a.
Premier cas : a < 0 x² = a.
x² est un nombre positif.
a est un nombre négatif.
Or, un carré est toujours positif.
Donc l’équation n’a pas de solution.
Exemple : résoudre l'équation x² + 4 = 0. Voir feuille annexe.
Deuxième cas : a = 0
x² = 0 ⇔ x × x = 0 ⇔ x = 0 L'ensemble des solutions est { 0 }.
Ecrire la phrase expliquant le raisonnement ci-dessus. Voir feuille annexe.
Troisième cas : a > 0.
x² = a ⇔ x² − a = 0 ⇔ x² − ( a )2 = 0 ⇔ ( x − a ) ( x + a ) = 0 ⇔ x − a = 0 ou x + a = 0 x² = a ⇔ x = a ou x = - a.
L'ensemble des solutions est { − a ; a }.
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Exemple : résoudre l'équation x² = 7. Voir feuille annexe.
E3 Savoir résoudre des équations du type x² = a. p 34 n ° 147 et n ° 148.
4 Equation produit.
Une équation produit est une équation se ramenant à A ( x ) × B ( x ) = 0.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des deux facteurs est nul.
A ( x ) × B ( x ) = 0 ⇔ A ( x ) = 0 ou B ( x ) = 0.
Exemple : résoudre dans l’équation ( 2x + 1 ) ( x − 2 ) = 0. Voir feuille annexe.
E4 Savoir résoudre des équations produit. P 25 n ° 39 question D facultative…
5 Méthode pour résoudre d'autres types d'équations produit.
1 ) Ecrire l'équation à résoudre.
2 ) Obtenir un membre nul.
3 ) Ecrire le membre non nul sous la forme d’un produit de facteurs ( cad factoriser le membre non nul ) 4 ) Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des deux facteurs est nul.
5 ) Ecrire la phrase conclusion.
Exemple : résoudre dans l’équation ( -x + 5 )² = ( 4x + 1 )². Voir feuille annexe.
E5 Savoir résoudre des équations en factorisant. P 33 n ° 141 ; n ° 142 ; n ° 153 ; n ° 151.
6 Equation quotient.
Une équation quotient est une équation se ramenant à ) x ( B
) x ( A = 0 .
Un quotient de facteurs est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.
) x ( B
) x (
A = 0 ⇔ A ( x ) = 0 et B ( x ) ≠ 0.
Exemple : résoudre dans l’équation 1 x 4
2 x
3 −+ = 0. Voir feuille annexe.
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E6 Savoir résoudre des équations quotient.
Résoudre dans les trois équations suivantes : 3 x 2
x 2
5−+ = 0 ;
) x 2 10 )(
1 x 7 (
x
5 +
− + = 0 ;
8 x
) 1 x 3 )(
7 x 2 (
+ +
− = 0
7 Méthode pour résoudre d'autres types d'équations quotient.
1 ) Obtenir un membre nul en écrivant que le ou les dénominateurs doivent être différents de 0.
2 ) Ecrire le membre non nul sous la forme d'un quotient de facteurs. ( Mettre au même dénominateur ).
3 ) Un quotient de facteurs est nul si et seulement si son numérateur est nul et si son dénominateur est non nul.
4 ) Ecrire la phrase conclusion.
Exemple : résoudre dans l’équation 3 2 x
1 x
2 =
−
+ . Voir feuille annexe.
E7 Savoir résoudre des équations quotient en les réduisant au même dénominateur.
A ) x 1
3 x
2 +− = 4 B )
x 2
x 2 1−− =
x 2
x 2
3++ C ) x 1
+1 = x 1
−1 D ) x − 2 =
2 x
5+
8 Mise en équation d’un problème.
1 ) Lire l’énoncé
2 ) Choix de l’inconnue et contraintes liées à ce choix.
3 ) Mise en équation en justifiant à l'aide de l'énoncé.
4 ) Résolution de l’équation
5 ) Conclusion en cohérence avec l'énoncé.
Exemple : un problème d'Euler ( 1707 - 1783 ). Un père de trois enfants laisse en héritage 1 600 couronnes.
Le testament précise que l’aîné doit recevoir 200 couronnes de plus que le deuxième, et le deuxième 100 couronnes de plus que le dernier. De quelle somme hérite chacun des enfants ? Voir feuille annexe.
E8 Savoir mettre un problème en équation. P 34 n ° 162 ; n ° 178 ; n ° 179 et n ° 172.
Remarques au sujet de ce chapitre.
C'est peut être un des chapitres les plus importants de l'année ! Il faut bien retenir les méthodes et la façon de rédiger.
Vous le retrouverez dans toutes les classes de première et cela se poursuivra en terminale.
