ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 3 - durée : 1 h 7 décembre 2010 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
Les questions suivantes sont indépendantes.
1. Simplier S =
41
X
k=0
41 k
541−k.
2. En utilisant la formule du binôme, calculer et simplier A= (2−√ 5)3. 3. Déterminer le nombre d'anagrammes du mot "ANAGRAMME".
4. On eectue 3 tirages sans remise dans une urne contenant des boules numérotées de 1 à 9.
Déterminer le nombre de tirages où la boule no1 est tirée en deuxième position.
(L'ordre est donc important.)
Exercice II.
Rappel : ∀α >0, xα se dérive en αxα−1, et lim
x→0+(xαln(x)) = 0. Soit la fonctionf dénie sur R∗+ parf(x) = 2√
xln(x)−4√ x+ 1. 1. a. Expliquer pourquoif est continue surR∗+.
b. Déterminer les limites def aux bornes de son ensemble de dénition.
c. f est-elle alors prolongeable par continuité en0? Préciser la réponse.
2. a. Montrer que pourx >0, on a f0(x) = ln(x)
√x . b. En déduire le tableau de variations def.
c. Pour quelle(s) valeur(s) du réelβ l'équation f(x) =β admet-elle des solutions ? Justier.
3. Montrer quef admet une branche parabolique et préciser de laquelle il s'agit.
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