TS Équations différentielles (3) Équations différentielles de la forme y’= ay + b (a et b constantes) I. Résolution 1°) Théorème Les solutions de l’équation différentielle

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TS

Équations différentielles (3) Équations différentielles de la forme

y’= ay + b (a et b constantes)

I. Résolution 1°) Théorème

Les solutions de l’équation différentielle y’= ay + b (



a b;



², a  0) sont les fonctions f définies sur  par ^{f x}

 

^k^e^ax ^b

 a



^k^^



^.

2°) Démonstration (ROC)

Prérequis : résolution des équations différentielles de la forme Y’ = mY y’= ay + b (E) (



^{a b}^;



², a0)

(E)  '

Y

y a y b a

 

   



On pose :



constante

Y y b

  a .

y est dérivable sur  donc Y est dérivable sur .

On a : 'Y y'.

(E) s’écrit donc Y'aY.

D’après le théorème fondamental, les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions F définies sur

 par ^{F x}

 

^^k^e^ax



^k^^



^.

On a : b

y Y

 a.

Dons les solutions de (E) sont les fonctions f définies sur  par ^{f x}

 

^k^e^ax ^b

 a



^k^^



^.

Vocabulaire : k est appelé un paramètre.

2 3°) Exercice

Résoudre (intégrer) l’équation différentielle y’ = 2y + 1 (E).

On reconnaît une équation différentielle de la forme y’= ay + b avec a = 2 et b = 1.

Les solutions de (E) sont les fonctions f définies sur  par

 

e² ¹ 2

f x k x



^k^



^.

4°) Bêtise à ne pas faire

Ne pas utiliser la formule lorsque a et b ne sont pas de constantes.

Exemple : y’ = 2y + 3x.

Ne pas appliquer le théorème.

II. Solution prenant une valeur donnée (problème de Cauchy)

Cauchy : mathématicien français du XIX^e siècle 1°) Théorème

a et b sont deux réels tels que a  0.

Pour tout couple



x0;y0



de réels, il existe une unique fonction f solution de l’équation différentielle y’= ay + b telle que f x

 

0 y0.

2°) Interprétation graphique

O i^ j

Il existe une unique fonction f solution de l’équation différentielle dont la courbe représentative par le point de coordonnées



x0;y0



.

x0

y0

Cf

(2)

3 3°) Démonstration (ROC)

f :    e^ax b

x k

a





^k^^



 

0 0

f x y  e^ax⁰ b ₀

k y

a  e^ax⁰ ₀ b

k y

 a  ₀ b e^ax⁰

k y

a

  

  

 

k existe et est unique donc f existe et est unique.

La solution cherchée est la fonction f définie sur  par

 

0 b e^{a x x}^ ⁰^ b

f x y

a a

  

   

 

.

III. Équations différentielles en physique : circuit RC en électricité

On pose : uu_C.

On établit l’équation différentielle d d

C C

RC u u E

t   

constante de temps avec la condition initiale uC

 

⁰ ⁰.

L’équation différentielle s’écrit d d

C C

u u E

 t   ou encore d 1

d

C C

u E

t   u 

 .

On reconnaît une équation différentielle de la forme y’= ay + b avec 1 a 

 et E b

.

Donc

 

^e

t

uC t k ^^E



^k



.

k est déterminé par la condition initiale uC

 

⁰ ⁰ donc 0 = k + E d’où k = – E.

 

^{1 e}

t

uC t E ^^

   

 

Commentaire :

En physique, on a ce que l’on appelle des « conditions aux limites » ce que l’on n’a pas en mathématiques.