￿￿￿ SUITES VECTORIELLES ET RÉELLES DÉFINIES PAR UNE RELATION DE RÉCURRENCE un

��� SUITES VECTORIELLES ET RÉELLES DÉFINIES PAR UNE RELATION DE RÉCURRENCE u

= f (u

).

EXEMPLES. APPLICATIONS À LA RÉSOLUTION APPROCHÉE D’ÉQUATIONS.

I. Généralités sur les suites récurrentes

I. A. Suites récurrentes réelles

Définition à tout ordre, on se place dans le cadre ordre1(en fait en utilisant un cadre matriciel on pourra toujours se ramener à ce cas-là)

Exemples des suites arithmétiques, géométriques, homographiques

Propriétés de monotonie lorsquefest croissante/décroissante sur des intervalles stables Lemme de la grenouille [FGN��, §�.��, p��]

I. B. Suites récurrentes vectorielles

Permet notamment de se ramener à un ordre1 Équation caractéristique

Application à la résolution d’une suite récurrente linéaire d’ordrep.

Exemple de la suite deF��������

II. Points fixes et suites récurrentes

II. A. Théorèmes de points fixes

Définition d’un point fixe, toute suite récurrence convergente converge vers un point fixe def Exemples d’existence de points fixes (théorème des valeurs intermédiaires) :f : [0,1]≠æ[0,1]

continue,f :R⁺≠æR⁺telle quelim sup_xæ+Œf(x)/x <1.

Théorème du point fixe deP�����, corollaire avec une itérée Exemple/contre-exemple

Vitesses de convergence en fonction de la dérivée, point fixe attractif, répulsif (schémas), exemple du sinus itéré

II. B. Applications en probabilités

Noyau de transition, chaînes deM�����, mesure invariante, existence, cas de non unicité ...

Existence dans le casEfini, convergence sous conditions vers la mesure invariante P�����������. [��������� �� ����������� ��G�����-W�����]

Soient(X_i^j)i,jØ1des v.a. i.i.d. à valeurs dansN. On noteµleur loi,mleur espérance et on définit le processus(Zn)nœNparZ0 = 1etZn+1 = qZn

i=1X_iⁿ⁺¹pourn œ N. et enfin fl=P(÷nØ0|Zn= 0). Alors siµ”=”₁, on a :

• simÆ1,fl= 1et on a extinction du processus presque surement,

• sim >1,fl<1et il y a une probabilité strictement positive de survie.

III. Application à la résolution d’équations par des méthodes itératives

III. A. Méthode de N�����

T��������.

Soitf : [c, d]≠æRune fonctionC², oùc < d, et telle quef(c)<0< f(d)etf^Õ >0sur [c, d]. On considère la suite récurrente définie parx0œ[c, d]etxn+1 =xn≠f^f(xÕ(xⁿn⁾)pour nœN.

Alors en notantal’unique0def, on a :

(i) il existe– > 0tel que pour toutx₀ œ [a≠–, a+–],(xn)_nœNconverge versade manière quadratique : il existeC >0telle que’nœN,|xn+1≠a|ÆC|xn≠a|². (ii) si de plusf^ÕÕ > 0sur[a, d], alors pour toutx0 œ]a, d],(xn)nœNest strictement dé-

croissante etxn+1≠a≥ⁿæ+Œ f^ÕÕ(a)

2f^Õ(a)(xn≠a)².

Et en dimension quelconque

III. B. Méthodes de descente de gradient

Méthodes de descente de gradient Gradient à pas optimal

III. C. Résolution de systèmes linéaires

Idée : décomposition régulièreA=M ≠NavecMfacile à inverser

On définitx₀œKⁿetx_n+1=M^≠1(N xn+b). Si cette suite converge, la limite est la solution deAx=b

Théorème : la méthode itérative converge pour toutx₀si et seulement sifl(M^≠1N)<1. Dans ce cas, vitesse de convergence est géométrique

Exemple : méthode deR���������

Pour une matriceAhermitienne définie positive, siM, Nest une décomposition satisfaisante, on aM^ú+Nest hermitienne et si elle est définie positive, alorsfl(M^≠1N)<1

Méthode deJ�����: on prend pourDla diagonale deA. On aM^≠1N =In≠D^≠1A(on peut supposerDinversible quitte à permuter les colonnes deA)

SiAest hermitienne, on a convergence siAet2D≠Asont définies positives

Méthode deG����-S�����: on prend pourM la matrice triangulaire inférieure issue deA, et pourNl’opposé des coe�icients restants. SiAest hermitienne définie positive, on a la conveer- gence de la méthode carM^ú+Nl’est aussi

Remarque : les itérations correspondent à un calcul matriciel, on a doncn²opérations. Les

ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page���sur���

Agrégation – Leçons ���– Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrenceun+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

inversions deMnécessitentnopérations pourJ�����,n²/2pourG����-S�����, donc pour un nombre d’itérationπn, ces méthodes sont plus rapides que les méthodes directes

III. D. Recherche de valeurs propres

Méthode de la puissance pour trouver la plus grande valeur propre en module, ainsi qu’un vec- tor propre, vitesse géométrique

Matrices deG�����, méthode deJ�����:Ak _kæ+Œ≠æ diag(⁄_‡(i))pour un‡œSn

������

Suites du sinus itéré

Méthode deN�����en dimension�

Points fixes attractifs/répulsifs, selon la valeur de|f^Õ|et le signe def^Õ

������������

Une leçon facile à remplir, il faut sélectionner ce sur quoi on est à l’aise.

���������

Q Étudier la suite définie par récurrence parxn+1= sin(xn). Donner un équivalent.

R xn œ [≠1,1]pourn Ø1et sif = sin, on a quefest croissante sur cet intervalle donc la suite est monotone et converge vers un point fixe defsur cet intervalle. Cela ne peut être que0. Doncxn _næ+Œ≠æ 0.

En utilisant leDL3desin, on a quexn+1≠xn≥ ≠^x6³ⁿ.

On étudiex^—_n+1≠x^—_nqui converge vers la limite finie¹₃pour—=≠2.

On a donc par le théorème deC�����quex^≠2_n ≥n/3et ainsixn≥Ò

3 n.

Q Si f est continue de [0,1]dans [0,1]et x_n+1 = f(xn), montrer que (xn)n converge si et seulement si|x_n+1≠xn| _n≠æ_æ+Œ 0(lemme de la grenouille).

R Le sens direct est évident. Réciproquement, supposons que(xn)n possède deux valeurs d’adhérence distinctes¸,¸^Õ, alors on a que[¸,¸^Õ]est un ensemble de valeurs d’adhérences par hypothèse (faire un dessin). L’ensemble des valeurs d’adhérence est donc connexe. Vé- rifions qu’une valeur d’adhérence est un point fixe. Six_Ï(n)≠æ¸, alorsf(xÏ(n))≠æf(¸) et par hypothèse on en déduit quef(¸) = ¸. Comme on a un segment de valeurs d’adhé- rences, donc de points fixes, on a que dès qu’un des termes est dans le segment, la suite est constante. Ce qui contredit le fait que l’on ait deux valeurs d’adhérence. Donc il y a une unique valeur d’adhérence et la suite converge.

Q ConsidéronsÏ : (a, b)‘≠æ (^a+b₂ ,Ô

ab). Montrer(an)net(bn)nont même limite. Montrer

que la convergence de(an≠bn)nvers0est géométrique.

R On a quean, bn œ [min(a0, b₀),max(a0, b₀)]pour toutn. On vérifie par récurrence que (an)nest décroissante et(bn)nest croissante et de plusan Øbn. Les deux suites sont donc convergentes. Si elles convergent vers¸₁,¸₂, alors on a(¸1,¸₂) = (^¸1+¸₂ ²,Ô

¸₁¸₂), ce qui n’est possible que si¸₁=¸₂.

Q Soitf :Rⁿ ≠æRde classeC²telle que—Îhβ Ø Ò²f(x)(h, h)Ø–Îhβ. Montrer quef a un unique minimiseur et donner un algorithme convergeant vers ce minimiseur.

R Utiliser la formule de T����� avec reste intégral. Une méthode à descente de gradient convient.

�������������

[AK��] G.A������et S.-M.K����:Algèbre linéaire numérique. Ellipses,����.

[BL��] P.B����et M.L�����:Probabilité. EDP Sciences,����.

[Dem��] J.-P.D�������: Analyse numérique et équations di�érentielles. Collection Grenoble Sciences,����.

[FGN��] S.F��������, H.G�������et S.N������:Oraux X-ENS - Analyse�. Cassini,����.

[FGN��] S.F��������, H.G�������et S.N������:Oraux X-ENS - Analyse�. Cassini,����.

[Gou��] X.G������:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,����.

[Rou��] F.R�������:Petit guide de calcul di�érentiel. Cassini,����.

ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page���sur���