Récurrence Lundi 16 septembre 2013

Mathématiques TS8 – 2013-2014

Récurrence Lundi 16 septembre 2013

Vous pouvez traiter les exercices dans l’ordre de votre choix.

Le barème est donné à titre indicatif.

La calculatrice est autorisée.

CORRIGE

Exercice N°1

On pose, pour tout entier naturel n :

P

_n ^{: « 4n−1} est divisible par 3 ».

Initialisation

Pour n=0, on a : 4ⁿ− =1 4⁰− = − =1 1 1 0 qui est bien divisible par 3.

La propriété

P

₀ est vraie.

Hérédité

Soit N un entier naturel quelconque fixé.

On suppose

P

_N vraie, c'est-à-dire : 4^N−1 est divisible par 3 (hypothèse de récurrence).

On veut montrer que

P

_N+1 est vraie, c'est-à-dire : 4^N+1−1 est divisible par 3.

On a :

( ) ( ) ( )

4^N+1− = ×1 4 4^N− = ×1 4 ⎡⎣ 4^N− + − = ×1 1⎤⎦ 1 4 4^N− + − = ×1 4 1 4 4^N− +1 3

D’où, d’après l’hypothèse de récurrence ? 4^N−1 est divisible par 3. Il en va donc de même pour ^4×

(

^{4N −1}

)

puis pour ^4×

(

^{4N − +1}

)

^3.

Ainsi, la propriété

P

_N+1 est vraie.

Conclusion

La propriété

P

_n est vraie pour tout entier naturel n.

, 4ⁿ 1

∀ ∈n ` − est divisible par 3.

Exercice N°2

Cf. www.panamaths.net … ☺

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Exercice N°3

1. On pose, pour tout entier naturel n :

P

_n ^{: «} un=²ⁿ⁺¹+¹ ».

Initialisation

Pour n=0, on a : u_n =u₀ =3 et 2ⁿ⁺¹+ =1 2^{0 1+} + = + = + =1 2¹ 1 2 1 3. Ainsi, on a bien u₀=2^{0 1+} +1. La propriété

P

₀ est vraie.

Hérédité

Soit N un entier naturel quelconque fixé.

On suppose

P

_N vraie, c'est-à-dire : u_N =2^N+1+1 (hypothèse de récurrence).

On veut montrer que

P

_N+1 est vraie, c'est-à-dire : u_N+1=2^N+2+1. Par définition de la suite

( )

un , on a : u_N+1=2u_N−1.

D’où, d’après l’hypothèse de récurrence :

(

¹

)

^{1 2}

1 2 2^N 1 1 2 2^N 2 1 2^N 1

uN₊ = × ⁺ + − = × ⁺ + − = ⁺ + Ainsi, la propriété

P

_N+1 est vraie.

Conclusion

La propriété

P

_n est vraie pour tout entier naturel n.

, _n 2ⁿ 1 1

n u ⁺

∀ ∈` = +

2. On pose, pour tout entier naturel n :

P

_n ^{: « 2}un− =vn ⁵ ».

Initialisation

Pour n=0, on a : 2u₀− = × − =v₀ 2 3 1 5. La propriété

P

₀ est vraie.

Hérédité

Soit N un entier naturel quelconque fixé.

On suppose

P

_N vraie, c'est-à-dire : 2u_N−v_N =5 (hypothèse de récurrence).

On veut montrer que

P

_N+1 est vraie, c'est-à-dire : 2u_N+1−v_N+1=5. Par définition des suites

( )

un et

( )

vn , on a :

( ) ( ) ( )

1 1

2u_N+ −v_N+ = ×2 2u_N− −1 2v_N +3 = ×2 2u_N−2v_N− − = ×2 3 2 2u_N−v_N −5 D’où, d’après l’hypothèse de récurrence :

( )

1 1

2u_N+ −v_N+ = ×2 2u_N −v_N − = × − =5 2 5 5 5

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Ainsi, la propriété

P

_N+1 est vraie.

Conclusion

La propriété

P

_n est vraie pour tout entier naturel n.

, 2 _{n n} 5

n u v

∀ ∈` − =

3. D’après la question précédente, nous avons, pour tout entier naturel n : v_n=2u_n−5. Mais d’après la question 1, on a : ∀ ∈n `,u_n =2ⁿ⁺¹+1.

On en déduit : ∀ ∈n `^,vn =²un− = ×^{5 2}

(

²ⁿ⁺¹+ − = ×¹

)

^{5 2 2n+1}+ − =^{2 5 2n+2}−³. , _n 2ⁿ 2 3

n v ⁺

∀ ∈` = −

Bonus

Pour tout n entier naturel non nul, on pose : 1₃ 1₃ 1₃ 1₃ 1 2 3 ...

Sn

= + + + +n . Montrer que l’on a :

*, _n 2 1

n S

∀ ∈` ≤ −n.

On pose, pour tout entier naturel n non nul :

P

_n ^{: « 1}₃ ¹₃ ¹₃ ^{... 1}₃ ^{2 1}

1 2 3

Sn

n n

= + + + + ≤ − ».

Initialisation

Pour n=1, on a : ₁ 1₃ 1 1

Sn =S = = et 1 1

2 2 1

1

− = − =n . Comme 1 1≤ , la propriété

P

₁ est vraie.

Hérédité

Soit N un entier naturel non nul quelconque fixé.

On suppose

P

_N vraie, c'est-à-dire : 1₃ 1₃ 1₃ 1₃ 1

... 2

1 2 3

SN

N N

= + + + + ≤ − (hypothèse de

récurrence).

On veut montrer que

P

_N+1 est vraie, c'est-à-dire :

( )

1 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1

... 2

1 2 3 1 1

SN

N N N

+ = + + + + + ≤ −

+ +

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On a :

( ) ( )

1 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1

1 2 3 ... 1 1

N N

S S

N N N

+ = + + + + + = +

+ + .

En utilisant l’hypothèse de récurrence :

( ) ( )

1 3 3

1 1 1

2

1 1

N N

S S

N N N

+ = + ≤ − +

+ + .

Si on a

( )

³

1 1 1

2 2

1 1

N N N

− + ≤ −

+ + , alors on pourra conclure.

Pour comparer

( )

³

1 1

2

N N 1

− +

+ et 1 2−N 1

+ , nous pouvons nous intéresser à leur différence :

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

3 3

2 3

3

2

3

2 3

2 3

1 1 1 1 1 1

2 2

1 1 1 1

1 1

1

1 1

1 1

1 1 1

N N N N N N

N N N N

N N

N N N N

N N

N N

N N

N N

N N

⎛ ⎞

− + −⎜⎜⎝ − + + ⎟⎟⎠= − + + − +

− + + + −

= +

+ ⎡⎣− + + ⎤⎦−

= +

+ −

= +

= + + +

Le polynôme x²+ +x 1 ne s’annule pas sur \ (son discriminant est négatif) ni, à fortiori, sur

`*. Il prend des valeurs strictement positives (le coefficient de « x² » est strictement positif). On en déduit :

( )

2 3

1 0

1

N N

N N + + >

+ . Et donc :

( )

³

1 1 1

2 2

1 1

N N N

− + < −

+ + .

Ainsi, on a :

( ) ( )

1 3 3

1 1 1 1

2 2

1 1 1

N N

S S

N N

N N

+ = + ≤ − + < −

+ + + .

D’où : ₁ 1

2 1

SN

+ ≤ −N

+ .

Ainsi, la propriété

P

_N+1 est vraie.

Conclusion

La propriété

P

_n est vraie pour tout entier naturel n non nul.

3 3 3 3

1 1 1 1 1

*, ... 2

1 2 3

n Sn

n n

∀ ∈` = + + + + ≤ −