Mathématiques TS8 – 2013-2014
Récurrence Lundi 16 septembre 2013
Vous pouvez traiter les exercices dans l’ordre de votre choix.
Le barème est donné à titre indicatif.
La calculatrice est autorisée.
Exercice N°1 (4 points)
Montrer que pour tout entier naturel n, 4n−1 est divisible par 3.
Exercice N°2 (6 points)
Pour tout n entier naturel non nul, on pose :
( )
1 2 2 3 ... 1 Sn= × + × + + × +n n
Montrer que l’on a :
(
1) (
2)
*, n 3
n n n
n S × + × +
∀ ∈` = .
Exercice N°3 (10 points)
Soit
( )
un et( )
vn les suites définies par :0
1
3
, n 2 n 1 u
n u+ u
⎧ =
⎨∀ ∈ = −
⎩ ` et
0
1
1
, n 2 n 3 v
n v+ v
⎧ =
⎨∀ ∈ = +
⎩ `
1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a : un =2n+1+1. 2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a : 2un−vn=5. 3. Déduire des questions précédentes l’expression de vn pour tout entier naturel n.
Bonus
Pour tout n entier naturel non nul, on pose : 13 13 13 13 1 2 3 ...
Sn
= + + + +n . Montrer que l’on a :
*, n 2 1
n S
∀ ∈` ≤ −n.
