PanaMaths Juin 2017

PanaMaths Juin 2017

Soit n∈

^*

et α ∈

^∗₊

. On pose :

( )

1 n

1

n k

u

n k

^α

=

= ∑ +

Discuter, selon α , de la limite de ( ) u

n

et de la nature de la série de terme général u

_n

.

(Oral Centrale – PSI – 2016)

Analyse

Au regard de la forme de u_n, on ne peut pas ne pas penser aux séries de Riemann…

Résolution

Etude de la suite

( )

un

Notons, dans un premier temps, que chacun des n termes de la somme

( )

1 n 1

k= n+k ^α

∑

^est

strictement positif, le plus petit étant

( ) ( )

1 1 1

2 2 n

n n ^α = n ^α = ^{α α}

+ × et le plus grand

( )

1 1 n+ ^α . On a donc immédiatement l’encadrement, pour tout entier naturel n non nul :

( )

1 1

2 ⁿ 1

n u n

n n ^α

α α

× ≤ ≤ ×

× +

On a : 1 1 ₁

2 2

n× ^α n^α = ^α n^α−

× × et

( )

1 ¹

1 1 1 1

1 1 1

1 1

n n

n n

n n

n n

α α α α

α α− ⁻

× = × = ≤

+ × +⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ × +⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠

.

On en déduit :

1 1

1 1

2 uⁿ

n n

α α− ≤ ≤ α−

×

PanaMaths Juin 2017

D’où :

• Si α<1, 1 ₁ lim 2

n^{→+∞ α}×n^{α− = +∞} et, par comparaison, on a : lim _n

n u

→+∞ = +∞.

• Si α >1, 1 ₁ 1₁

lim lim 0

2

n^{→+∞ α} n^α− =n^→+∞n^α− =

× et, par encadrement, on a : lim _n 0

n u

→+∞ = . Il reste donc à étudier le cas α =1.

On s’intéresse donc à la somme

1 1

1 1 1

1

n n

n

k k

u n k n k

n

= =

= =

+ +

∑ ∑

^.

Nous avons ainsi affaire à une somme de Riemann associée à la fonction 1 t t sur l’intervalle

[ ]

^{1 ; 2} . On en déduit que la suite converge et :

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1 1

1 1 1

lim lim d ln ln 2 ln 1 ln 2

1

n

n n n

k

u t t

n k t

n

→+∞ →+∞ =

= = =⎡⎣ ⎤⎦ = − =

∑

+

∫

En définitive :

La suite

( )

un converge pour α≥1 avec :

• Si α >1 : lim _n 0

n u

→+∞ =

• Si α =1 : n^limun ^{ln 2}

( )

→+∞ =

La suite

( )

un diverge pour α<1 : lim _n

n u

→+∞ = +∞.

Une condition nécessaire de convergence de la série de terme général u_n est : lim _n 0

n u

→+∞ = . On va donc supposer dans ce qui suit : α>1.

On a :

( )

¹

1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

n n n

n

k k k

u n k n k n n k

n n

α α α α− α

= = =

= = = ×

+ ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠

∑ ∑ ∑

^.

1

1 1

1

n

n k k

n

= ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠α

∑

est une somme de Riemann associée à la fonction 1

t t^α sur l’intervalle

[ ]

^{1 ; 2} . On a donc : ₁^{2 1 2}

(

¹

)

¹

1 1

1 1 1 1 1 1 2

lim d 2 1

1 1 1

1

n

n k

t t

n k t

n

α α α

α α α α α

− − −

→+∞ =

⎡ ⎤ −

= =⎢⎣ − ⎥⎦ = − − = −

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∫

^.

On en déduit :

1

1

1 2 1

n 1

u n

α

α α

− +∞ −

− ×

∼ −

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Notons au passage que l’obtention de cet équivalent est valable pour α ≠1 et pouvait être utilisé pour l’étude de la suite

( )

un …

On déduit du résultat précédent que la série

∑

u_n converge pour α− >1 1 (série de Riemann convergente), c’est-à-dire α>2.

La série

∑

u_n converge pour α >2.

Résultat final

un

∑

u_n

] [

^{0 ; 1}

α∈ Divergente de limite infinie. Divergente de limite infinie.

α =1 Convergente de limite égale

à ^{ln 2 .}

( )

Divergente de limite infinie.

] ]

^{1 ; 2}

α∈ Convergente de limite nulle. Divergente de limite infinie.

α >2 Convergente de limite nulle. Convergente.