PanaMaths Mars 2017

PanaMaths Mars 2017

Résoudre dans \ en discutant suivant la valeur du paramètre réel m :

( )

( ¹ ) ^{1 2 2} ( )

2 2

0 3

x y m m

m x z

x my m

z

y S

z

+ − = +

+ − + =

− + = +

+

⎧ ⎪

⎨ ⎪

⎩

Analyse

La méthode du pivot de Gauss (cf. le coefficient de « x » dans la première équation) nous permet d’obtenir facilement la discussion sur m.

Résolution

On a :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ^{( )(} ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ^{( )( ) ( ) ( )}

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3

1 1

2

2 2 1

3 3 1

1 1

2

2 2

3 3 1

1 2

1 2 0

2 3 2

1 2

2 1 2 1 1

2 1 2 2 2

1 2

2 1 2 1

2 2

x y m z m L

S m x y z L

x my z m L

x y m z m L L

m y m z m m L L m L

m y m z m L L L

x y m z m L L

m y m z m m L L

m m z m m L L L

+ + − = +

⎧⎪ + − + =

⎨⎪ − + = +

⎩

⎧ + + − = + ←

⇔⎪⎨ − + + + = − + + ← − +

⎪ − + + + = − + ← −

⎩

⎧ + + − = + ←

⇔⎪⎨ − + + + = − + + ←

⎪ − − = + ← −

⎩

Le coefficient de « z » dans la dernière équation permet de mener la discussion : 1^er cas : m=0

On a alors :

( )

2 2 3 4

2 2

2 2 2 2

0 0

x y z

x y z x y

S y z

z y z y

+ + =

⎧ ⎧ = − − + ⎧ = − +

⇔⎪⎨⎪⎩ − + = − ⇔= ⎨⎩ = − ⇔⎨⎩ = −

PanaMaths Mars 2017

Dans ce cas, le système admet une infinité de solutions :

( )

{

}

= − + − ∈\

S

2^ème cas : m=2 On a alors :

( )

0 8

x y z

S y z

+ − =

⎧⎪

⇔⎨ − + = −

⎪ =

⎩

La dernière équation n’admet bien sûr pas de solution.

S

3^ème cas : ^m∉

{ }

On a alors :

( )

( )

( ) ( ) ^{( )( )}

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

2 2

1 2

2 1 2 1

2 2

1 2 1 2

1 1 2

1 1

2 2 2

2 2

2 2

3 2

1 2

2 2

3 2

x y m z m

S m y m z m m

m m z m m

x y m z m x y m z m

m m m

y z m y m

m m m

m m

z z

m m

m m

x m m

m m

y m m z m

⎧ + + − = +

⇔⎪⎨ − + + + = − + +

⎪ − − = +

⎩

⎧ ⎧

= − − − + + = − − − + +

⎪ ⎪

⎪ + ⎪ + +

⎪ ⎪

⇔⎨⎪ = + + + ⇔⎨⎪ = − + × − + +

+ +

⎪ = − ⎪ = −

⎪ − ⎪ −

⎩ ⎩

+ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − −⎜⎝ + ⎟⎠− − × −⎜⎝ − ⎟⎠+ +

⇔ = − +

−

= −

1 2

3 2

2 2

2 2

x m y m

m z m

m m

⎧ ⎧ =

⎪ ⎪ −

⎪ ⎪ +

⎪ ⇔⎪ = −

⎨ ⎨ −

⎪ ⎪

+ +

⎪ ⎪ = −

⎪ − ⎪⎩ −

⎩

Le système admet dans ce cas une unique solution :

1 3 2

; ;

2 2 2

m m

m m m

⎧⎛ + + ⎞⎫

=⎨⎩⎜⎝ − − − − − ⎟⎠⎬⎭

S

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Résultat final

Soit

S

( )

( )

( )

1 2

1 2 0

2 3 2

x y m z m

m x y z

x my z m

+ + − = +

⎧⎪ + − + =

⎨⎪ − + = +

⎩

• Si m=2,

S

• Si m=0,

S

{ (

)

}

• Si ^m∉

{ }

2 2 2

m m

m m m

⎧⎛ + + ⎞⎫

=⎨⎩⎜⎝ − − − − − ⎟⎠⎬⎭

S