PanaMaths Janvier 2007

PanaMaths Janvier 2007

Développer en série entière la fonction f définie par :

( )

_{3 2}

²

1 f x x

x x x

= −

− − +

Analyse

Le dénumérateur admet une racine évidente qui permet une factorisation rapide puis une décomposition en éléments simples sur \.

Résolution

Il vient facilement :

( ) ( )

( ) ( )

3 2 2

2

1 1 1

1 1

x x x x x

x x

− − + = − −

= − +

Dans ces conditions, la décomposition en éléments simples de la fonction f permet de poser :

( )

^{3 2}

( )

²

2

1 1 1 1

x A B C

f x x x x x x x

= − = + +

− − + − − +

On obtient les réels A, B et C par des méthodes classiques :

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2

1 2 1

1 1 1

x A B

x f x x C

x x x

⎡ ⎤

+ × = − = + ×⎢ + ⎥+

− ⎢⎣ − − ⎥⎦

Pour x= −1, on obtient alors :

( ) ( )

^{2 2}

1 2 3 3

1 1 2 4

C= − − = − = −

− − −

En procédant de façon analogue :

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

1 1

1 1 1

1 1

1

x A C

x f x x B

x x x

x A Cx B

x

− ⎡ ⎤

− × = + = − ×⎢⎣ − + + ⎥⎦+

⎡ − ⎤

= − ×⎢⎣ + + ⎥⎦+

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Pour x=1, on obtient alors :

1 2 1

1 1 2

B= − = − + En tenant compte finalement de ^lim

( )

⁰

x xf x

→+∞ = , on a : A C+ =0.

D’où : 3

A= − =C 4 . Finalement :

( )

^{3 2}

( )

²

2 3 1 1 1 3 1

1 4 1 2 1 4 1

f x x

x x x x x x

= − = − −

− − + − − +

Expression que nous récrivons classiquement :

( )

³

(

¹

)

^{1 1}

(

¹

)

^{2 3}

(

¹

( ) )

¹

4 2 4

f x = − −x ⁻ − −x ⁻ − − −x ⁻

Chacune des fonctions ^x6

(

^1−x

)

^{−1, x6}

(

^1−x

)

^{−2 et x6}

(

^1+x

)

⁻¹ est développable en série entière sur l’intervalle

]

^{−1 ; 1}

[

. Il en va donc de même pour f.

On considère alors les développements :

( )

¹

0

1 ⁿ

n

x x

− +∞

=

− =

∑

( )

²

( ( )

¹

)

^{' 1}

^{( )}

1 0

1 1 ⁿ 1 ⁿ

n n

x x nx n x

+∞ +∞

− − −

= =

− = − =

∑

=

∑

+

( )

¹

( )

0

1 1 ^{n n}

n

x x

− +∞

=

+ =

∑

− Il vient :

( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( )

( ) ( )

( )

1 2 1

0 0 0

0

0

3 1 3

1 1 1

4 2 4

3 1 3

1 1

4 2 4

3 1 3

1 1

4 2 4

2 5 3 1

4

n n n n

n n n

n n

n

n n n

f x x x x

x n x x

n x

n x

− − −

+∞ +∞ +∞

= = =

+∞

= +∞

=

= − − − − − − −

= − − + − −

⎡ ⎤

= − ⎢⎣ + + + − ⎥⎦ + + −

= −

∑ ∑ ∑

∑

∑

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Remarque : en tenant compte de la parité de n, on peut récrire le résultat obtenu comme suit :

( ) ( )

( )

( ) ( )

0

2 2 1

0

2 2 1

0

2 5 3 1

4

2 2 1 5 3

4 5 3

4 4

2 1

n n n

k k

k

k k

k

f x n x

k k

x x

k x k x

+∞

=

+∞ +

=

+∞ +

=

+ + −

= −

⎡ + + + + − ⎤

= − ⎢ + ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤

= − ⎣ + + + ⎦

∑

∑

∑

Résultat final

La fonction f définie sur ^\\

{ }

^{−1;1 par :}

( )

_{3 2} ²

1 f x x

x x x

= −

− − +

est développable en série entière sur l’intervalle

]

^{−1 ; 1}

[

et on a :

] [ ( ) ( ) ( )

²

( )

^{2 1}

0 0

2 5 3 1

1 ; 1 , 2 1

4

n

n k k

n k

x f x n x k x k x

+∞ +∞

+

= =

+ + − ⎡ ⎤

∀ ∈ − = −

∑

= −

∑

⎣ + + + ⎦