PanaMaths Juillet 2007
Calculer le déterminant (n entier naturel non nul) :
1 1 1 1 1
1 2 2 2 2
1 2 3 3 3
1 2 3 1 1
1 2 3 1
n
n n
n n
a a a a a
a a a a a
a a a a a
d
a a a a a
a a a a a
− −
−
=
…
…
…
…
…
Analyse
Faire porter son attention sur deux lignes consécutives …
Résolution
Soustraire deux lignes consécutives fait apparaître de nombreux zéros et un même élément que l’on va pouvoir factoriser.
( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2
1 2 3 3 3 3 1 2 3 3 3 3
1 2 3 1 1 1 1 2 3 1 1 1
1 2 3 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 2 2 2 2
1 1
0 0 0 0
n
n n n n n n
n n n n n
n n
a a a a a L a a a a a L
a a a a a L a a a a a L
a a a a a L a a a a a L
d
a a a a a L a a a a a L
a a a a a L a a L L
a a a a a
a a a a a
a a a
− − − − − −
− − −
−
= =
− −
= −
… …
… …
… …
… …
… …
…
…
2 3 3 3
1 2 3 1 1
0 0 0 0 1
n n
a a a a
a a a a − a −
…
…
…
PanaMaths Juillet 2007
On recommence alors et on poursuit en remontant jusqu’à la deuxième ligne :
( )
( )
( )( )
1 1 1 1 1
1 2 2 2 2
1 2 3 3 3
1
1 2 3 1 1
1 1 1 1 1
1 2 2 2 2
1 2 3 3 3
1
1 2 1 2
1 1 1 1 1
1 2 2 2 2
1 2 3 3 3
1 1 2
0 0 0 0 1
0 0 0
0 0 0 0 1
n n n
n n
n n
n n n n
n n n n
a a a a a
a a a a a
a a a a a
d a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a
a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a
−
− −
−
− − − −
− − −
= −
= −
− −
= − −
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1 1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 1 2 2 1 1
Déterminant d'une matrice triangulaire supérieure ne comporta
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
n n n n
n n n n
a a a a a
a a a a a a
a a a a a a a
− − −
− − −
=
= − − −
= − − −
…
…
…
…
…
… … …
…
…
…
…
… …
…
…
( )( ) ( )
nt que des 1 sur sa diagonale.
1 1 2 2 1 1
n n n n
a a − a − a − a a a
= − − … −
PanaMaths Juillet 2007
Introduisons alors : a0=0. On obtient finalement :
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )
1 1 2 2 1 1
1 1 2 2 1 1 0
1 1
n n n n n
n n n n
n
i i
i
d a a a a a a a
a a a a a a a a
a a
− − −
− − −
−
=
= − − −
= − − − −
=
∏
−…
…
Résultat final
( )( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
1 2 2 2 2
1 2 3 3 3
1 1 2 2 1 1 1
1
1 2 3 1 1
1 2 3 1
n
n n n n n i i
i
n n
n n
a a a a a
a a a a a
a a a a a
d a a a a a a a a a
a a a a a
a a a a a
− − − −
=
− −
−
= = − − − =
∏
−…
…
… …
…
…
Avec : a0=0.
