PanaMaths Juin 2007
Calculer le déterminant :
( ) ( )
0 0
a b b
b
b
b b a
…
…
Analyse
Si on note n l’ordre du déterminant, les cas n=1 et n=2 ne posent pas de difficulté particulière … On supposera donc n≥3. On constate alors que la première et la dernière colonne, similaires, se distinguent des autres. Si on note alors
(
e e1, 2,...,en)
une base de l’espace vectoriel considéré, on peut démarrer le calcul en introduisant le vecteur1 n
i i
w b e
=
=
∑
.Résolution
On procède comme suggéré ci-dessus mais on introduit également le vecteur v=b e
(
1+en)
. Dans ces conditions, on a :( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
1 2 3 1)
0 0
0 0
det , , ,..., n , n
b a b b b
a b b
b a
b
b a b
b b a
b b b b a b
w a b e v ae v ae v ae − w a b e + −
=
+ −
= + − + + + + −
… … …
… …
Nous allons utiliser la multilinéarité du déterminant pour développer le déterminant ainsi exprimé. Il nous faut procéder avec … ordre !
PanaMaths Juin 2007
En raisonnant sur les vecteurs de la première et de la dernière position (c’est à dire,
fondamentalement, en raisonnant sur la première et la dernière colonne), nous allons obtenir :
• D’une part, des déterminants de la forme : det
(
w,...,(
a b e−)
n)
. Pour de tels déterminants, on a la possibilité de faire apparaître le vecteur v au plus une fois en position 2, 3, …, n−1. On obtient alors :o Si on ne fait pas apparaître le vecteur v :
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 3 1 2 3 1
1 2
1 2 3 1
2
det , , ,..., , det , , ,..., ,
det , , ,..., ,
n
n n i n n
i n
n n
n
w ae ae ae a b e b e ae ae ae a b e b a b a e e e e e b a b a
− −
=
−
−
−
⎛ ⎞
− = ⎜⎝ − ⎟⎠
= −
= −
∑
o Si on fait apparaître le vecteur v :
( )
( ) ( )
2 3 1
Ce vecteur est en ème position
2 3 1 1
1 Ce vecteur est en
ème position
2 1
det , , ,..., ,..., ,
det , , ,..., ,..., ,
det , ,
n n
i
n
k n n n
k
i
n k k
w ae ae v ae a b e
b e ae ae b e e ae a b e
b e ae
−
−
=
=
⎛ ⎞
⎜ − ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ + − ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
∑
∑ ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3 1 1
Ce vecteur est en ème position
2 3 1 1
2 3
2 3 1 1
2 3
,..., ,..., ,
det , , ,..., ,..., ,
det , , ,..., ,..., ,
n n
i
i n n
n
i n n
n
ae be ae a b e
be ae ae be ae a b e
b a b a e e e e e e
b a b a
−
−
−
−
−
⎛ ⎞
⎜ − ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
= −
= − −
Et il y a n−2 déterminants de ce type.
• D’autre part, des déterminants de la forme : det
( (
a b e−)
1,...,w)
.Ils sont « symétriques » des précédents et nous ne détaillons pas à nouveau la démarche, les résultats obtenus étant identiques …
• Enfin, un déterminant où le vecteur w n’apparaît pas :
( ) ( )
(
1 2 1) ( )
2(
1 2 1)
det a b e v− , +ae ,...,v+aen−, a b e− n = a b− det e v, +ae ,...,v+aen− ,en . Rappelons ici que l’on a : v=b e
(
1+en)
. En position 2, 3, …, n−2 de ce déterminant, on a donc simplement ajouté une combinaison linéaire des vecteurs (e1 et en)apparaissant en première et dernière position.
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On a alors :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
1 2 1 1 2 1
2
1 2 1
2 2
1 2 1
2 2
det , ,..., , det , ,..., ,
det , ,..., , det , ,..., ,
n n n n
n n
n
n n
n
a b e v ae v ae a b e a b e v ae v ae e a b e ae ae e
a b a e e e e
a b a
− −
−
−
−
−
− + + − = − + +
= −
= −
= − Finalement :
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2 3 1
2 3 1
1
2 3 1
2 Ce vecteur est en
ème position
1 2 3
det , , ,..., ,
det , , ,..., ,
det , , ,..., ,..., ,
det , , ,...,
n n
n n
n
n n
i
i
w a b e v ae v ae v ae w a b e w ae ae ae a b e
w ae ae v ae a b e
a b e ae ae a
−
−
−
= −
+ − + + + + −
= −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+ ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠
+ −
∑
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
{ } ( )
( ) ( ) ( )( )
1
1
1 2 3 1
2 Ce vecteur est en
ème position
1 2 1
2 2 3 2 2
2 2
,
det , , ,..., ,..., ,
det , ,..., ,
2 2
2 2 2
n
n
n i
i
n n
n n n
n
e w
a b e ae ae v ae w
a b e v ae v ae a b e
b a b a n a b b a a b a
a b a b a b n a b b
−
−
= −
−
− − −
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+ ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠
+ − + + −
⎡ ⎤
= − + − ⎣− − ⎦ + −
⎡ ⎤
= − ⎣ + − ⎦− − −
∑
( ) ( ) ( )
3
3 2
2 2
n
n
a a b a a a b n b
−
− ⎡ ⎤
= − ⎣ + − − ⎦
Résultat final
Pour n≥3 :
( ) ( )
0( )
3( ) (
2 2)
20
n
a b b
b a b a a a b n b
b
b b a
− ⎡ ⎤
= − ⎣ + − − ⎦
…
…
