PanaMaths Mai 2007

PanaMaths Mai 2007

Calculer l’intégrale définie :

( )

4 2

I

sin 3x dx

= ∫

Analyse

Une linéarisation s’impose en guise de préambule …

Résolution

Pour tout x réel, on a classiquement :

( ) ( ( ) ) ( ^{( )} )

2 1 1

sin 3 1 cos 2 3 1 cos 6

2 2

x = − × x = − x

Il vient alors :

( ) ( ( ) )

( )

( )

4 4

2

0 0

4 0

sin 3 1 1 cos 6

2

1 1

sin 6

2 6

1 1 6

sin 0 0

2 4 6 4

1 1 3

2 4 6sin 2

1 1

2 4 6

3 2

24

x dx x dx

x x

π π

π

π π

π π

π π

= −

⎡ ⎤

= ⎢⎣ − ⎥⎦

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

= ⎜⎝ − ⎜⎝ ⎟⎠− − ⎟⎠

⎛ ⎛ ⎞⎞

= ⎜⎝ − ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠

= +

∫ ∫

Pour fixer les idées : 3 2

0, 4760 24

π +

(valeur approchée à 10⁻⁴).

PanaMaths Mai 2007

Résultat final

4

( )

2 0

3 2

I sin 3 x dx 24

π

π +

=

∫