PanaMaths Mai 2012

PanaMaths Mai 2012

Dans cet exercice, on ne cherchera pas à déterminer une quelconque primitive de la fonction

1

t 1

t + 6 .

1. On donne :

2 3

1 1 dt 6 t

= π

∫ + ^et

1 1 dt 12 t

= π

∫ + ^.

Calculer

3

4 1 dt t +

∫ ^.

2. On note F une primitive de la fonction

1 t 1

t +

6 sur \ et on donne

( )

F 1 4

= π .

Calculer F 1 3

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

Analyse

Une primitive « inaccessible » (en terminale …) et deux intégrales données ; à partir de là, la relation de Chasles et la linéarité permettent d’ouvrir bien des portes …

Résolution

Question 1.

En utilisant la relation de Chasles, il vient :

3 1 3

1 2 1 2 1 2

3 3

1 3

1 2 1 2

3

1 1 1

1 1 1

1 4 1

4 1 1

dt dt dt

t t t

dt dt

t t

= +

+ + +

= +

+ +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

D’où : ¹1 2 1³ 2 1³ 2

3 3

4 1 1

1dt 4 1dt 1dt

t t t

⎛ ⎞

= ⎜ − ⎟

+ ⎝ + + ⎠

∫ ∫ ∫

PanaMaths Mai 2012

Puis :

1 3 3

1 2 1 2 1 2

3 3

4 1 1

1 4 1 1

4 6 12 412

3

dt dt dt

t t t

π π π π

⎛ ⎞

= ⎜ − ⎟

+ ⎝ + + ⎠

⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠

=

=

∫ ∫ ∫

1 1 2

3

4

1dt 3 t

=π

∫

Question 2.

On a : ¹1 2 ¹1 2

( )

3 3

4 1 1 1

4 4 1 4

1dt 1dt F F 3 2 F 3

t t

⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛π ⎛ ⎞⎞

= = ⎜ − ⎜ ⎟⎟= ⎜ − ⎜ ⎟⎟

+ + ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎠

∫ ∫

D’après la question précédente, on a aussi : ¹_{1 2}

3

4

1dt 3 t

=π

∫

D’où :

4 F 1

4 3 3

F 1

4 3 12

F 1

4 12 3

F 1 3 6

π π

π π

π π π

⎛ − ⎛ ⎞⎞=

⎜ ⎜⎝ ⎟⎠⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⇔ − ⎜⎝ ⎟⎠=

⎛ ⎞

⇔ ⎜⎝ ⎟⎠= −

⎛ ⎞

⇔ ⎜⎝ ⎟⎠=

F 1 3 6

⎛ ⎞ =π

⎜ ⎟

⎝ ⎠